2011-陕西卷文-17 解-椭圆方程与弦中点

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及离心率。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 设椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $(0,4)$，离心率为 $\frac{3}{5}$.

(1)求 $C$ 的方程；

(2)求过点 $(3,0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的中点坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：（1）由过点与离心率联立方程组解 $a$
2. 步骤2：$b$
3. 步骤3：（2）直线代入椭圆
4. 步骤4：韦达定理求中点坐标

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

(2) 中点坐标为 $\left(\frac{3}{2},-\frac{6}{5}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）椭圆过点 $(0,4)$：$\frac{0}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1$，得 $b=4$。

由 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$，得 $c^2=\frac{9}{25}{a}^2$；又 $c^2=a^2-b^2=a^2-16$，故 $a^2-16=\frac{9}{25}{a}^2$，即 $\frac{16}{25}{a}^2=16$，$a^2=25$。

所求方程为 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$。

（2）直线方程为 $y=\frac{4}{5}(x-3)$。代入椭圆：

$\frac{x^2}{25}+\frac{{\left[\frac{4}{5}(x-3)\right]}^2}{16}=1$，即 $\frac{x^2}{25}+\frac{(x-3{)}^2}{25}=1$，整理得 $x^2-3x-8=0$。

设两交点为 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=3$。

$y_1+y_2=\frac{4}{5}(x_1+x_2-6)=\frac{4}{5}\times (3-6)=-\frac{12}{5}$。

故中点坐标为 $\left(\frac{3}{2},-\frac{6}{5}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆标准方程的待定系数法；离心率与 $a$，$b$，$c$ 的关系；联立方程与韦达定理求中点

核心方法：两个独立条件定 $a$，$b$；中点问题用”横坐标和 + 纵坐标和”两步走，纵坐标借直线方程整体转化

避坑指南：$e=\frac{3}{5}$ 对应的”$3$-$4$-$5$“直角三角形结构：$a=5$，$b=4$，$c=3$，验算 $a^2=b^2+c^2$ 可防代入出错；中点纵坐标是 $\frac{y_1+y_2}{2}=-\frac{6}{5}$，漏除以 $2$ 是最常见笔误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆标准方程与弦中点题与 2012-陕西卷文-20、2014-新课标I卷文-20、2012-重庆卷文-21 同族。

结论推广：推广：椭圆中”点差法”也可求弦中点：设两端点代入方程相减，得 $\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}\cdot \frac{b^2}{a^2}=-k$，即 $k_{弦}\cdot k_{中点与中心连线}=-\frac{b^2}{a^2}$，熟练后比联立更快。

方法推广：弦中点问题两条路：联立 + 韦达（稳妥）或点差法（快捷）；无论哪条，最后都要用判别式确认相交。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-20 解-椭圆标准方程与向量关系
• 2014-新课标I卷文-20 解-圆的弦中点轨迹
• 2012-重庆卷文-21 解-椭圆标准方程与面积