2020-北京卷-16 解-线面角

本题导读

本题考查线面平行的判定定理。核心在于几何证明法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$ 为 $B{B}_1$ 的中点。

（Ⅰ）求证：$B{C}_1\parallel$ 平面 $A{D}_{1}E$；

（Ⅱ）求直线 $A{A}_1$ 与平面 $A{D}_{1}E$ 所成角的正弦值。

🔍【思路分析】

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（Ⅰ）线面平行的证明：

• 核心逻辑： 证明线线平行 $⟹$ 线面平行。
• 寻找目标： 在平面 $A{D}_{1}E$ 内寻找一条与 $B{C}_1$ 平行的直线。观察正方体的对角面，$A{D}_1$ 与 $B{C}_1$ 均位于互相平行的侧面上，且长度相等、方向一致。

（Ⅱ）线面角的计算：

• 核心逻辑： 建立空间直角坐标系，利用公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{n},\vec{v}⟩|$。
• 建系选择： 以 $A$ 为原点，射线 $AD,AB,A{A}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴正半轴。
• 计算步骤： 1. 写出各关键点坐标。 2. 计算平面 $A{D}_{1}E$ 的一个法向量 $\vec{n}$。 3. 取直线 $A{A}_1$ 的方向向量 $\vec{v}$。 4. 代入向量夹角公式。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中： 因为 $AB\parallel C_1{D}_1$ 且 $AB=C_1{D}_1$（均平行且等于正方体棱长）， 所以四边形 $AB{C}_1{D}_1$ 是平行四边形。 由此得：$B{C}_1\parallel A{D}_1$。 又因为 $B{C}_1\not\subset$ 平面 $A{D}_{1}E$，$A{D}_1\subset$ 平面 $A{D}_{1}E$， 根据线面平行的判定定理可知： $B{C}_1\parallel$ 平面 $A{D}_{1}E$。

如图，以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 设正方体棱长为 $2$，则相关点坐标为： $A(0,0,0),A_1(0,0,2),D_1(2,0,2),E(0,2,1)$。 则： $\overrightarrow{A{D}_1}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{AE}=(0,2,1)$，$\overrightarrow{A{A}_1}=(0,0,2)$。

设平面 $A{D}_{1}E$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，由：

$$\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{A{D}_1}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2x+2z=0\\ 2y+z=0\end{array}$$

令 $z=-2$，则 $x=2,y=1$。 得平面 $A{D}_{1}E$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(2,1,-2)$。

设直线 $A{A}_1$ 与平面 $A{D}_{1}E$ 所成角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{A{A}_1}⟩|=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{A{A}_1}|}{|\vec{n}|\cdot |\overrightarrow{A{A}_1}|}$ $\sin \theta =\frac{|2\times 0+1\times 0+(-2)\times 2|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}\cdot 2}=\frac{4}{3\times 2}=\frac{2}{3}$ 所以，直线 $A{A}_1$ 与平面 $A{D}_{1}E$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 辅助线的几何嗅觉： 在第一问中，直接联想正方体的平行面（如面 $AB{C}_1{D}_1$）可以极快找到平行线。
• 法向量的计算细节： 联立方程组后，给其中一个变量（如 $z$）赋一个方便计算的常数值，是求法向量的常用技巧。
• 正弦与余弦的转换： 记住直线与平面的夹角公式是 $|\cos ⟨\vec{n},\vec{v}⟩|$ 对应 $\sin \theta$，而平面与平面的夹角公式是 $|\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩|$ 对应 $\cos \alpha$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 截面问题： 点 $E$ 作为中点，常被用于考查过点 $A,D_1,E$ 的截面性质。本题中 $A{D}_{1}E$ 的截面面积也可以通过法向量求得。
2. 距离考法： 若题目要求点 $B$ 到平面 $A{D}_{1}E$ 的距离，可利用公式 $d=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ 快速求解。
3. 坐标系兼容性： 只要存在三条互相垂直的棱（如正方体的顶点处），坐标法在计算角度时几乎十分有效，应作为高考考场上的首选得分方案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2008-浙江卷文-20 解-线面平行二面角