2020-天津卷-09 单-数形结合切线

本题导读

本题考查分段函数的性质。核心在于参变量分离法、图象法 (数形结合)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）9. 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{array}$。若函数 $g(x)=f(x)-|k{x}^2-2x|$ ($k\in \mathbf{R}$) 恰有 4 个零点，则 $k$ 的取值范围是（ ）

A. $(-\infty ,-\frac{1}{2})\cup (2\sqrt{2},+\infty )$　　　　　　　　　　　B. $(-\infty ,-\frac{1}{2})\cup (0,2\sqrt{2})$

C. $(-\infty ,0)\cup (0,2\sqrt{2})$　　　　　　　　　　　　D. $(-\infty ,0)\cup (2\sqrt{2},+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初步提取零点： 观察 $g(x)=0⟹f(x)=|k{x}^2-2x|$。 由于 $f(0)=0$ 且 $|k\cdot 0^2-2\cdot 0|=0$，所以 $x=0$ 恒为 $g(x)$ 的一个零点。 要使 $g(x)$ 恰有 4 个零点，则方程 $f(x)=|x(kx-2)|$ 在 $x\ne 0$ 时应恰有 3 个实根。

2. 参变量简化： 当 $x\ne 0$ 时，方程两边同时除以 $|x|$： $\frac{f(x)}{|x|}=|kx-2|$。 设 $h(x)=\frac{f(x)}{|x|}=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3}{x}=x^2,& x>0\\ \frac{-x}{-x}=1,& x<0\end{array}$。 问题转化为：直线折线 $y=|kx-2|$ 与分段曲线 $y=h(x)$ 在 $x\ne 0$ 时恰有 3 个交点。

3. 数形结合讨论 $k$：

• $y=|kx-2|$ 是一个顶点在 $x=\frac{2}{k}$，过轴点 $(0,2)$ 的 “V” 型折线。
• $k=0$： $y=2$ 是水平线，与 $y=h(x)$ 只有 2 个交点（$x=-\sqrt{2}$ 和 $x=-1$），不符。
• $k<0$： 折线开口向左展宽，此时直线 $y=2-kx$ 与 $y=1$（$x<0$）必有一个交点，折线右侧与 $y=x^2$（$x>0$）必有两交点。共 3 个交点，满足。
• $k>0$： 顶点 $2/k$ 在正半轴。要产生 3 个交点，折线左侧必须与 $y=1$ 相交（1个点），右侧必须与 $y=x^2$ 相切或相交（2个点）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 分析 $k>0$ 的临界情况（相切）： 当 $x>0$ 时，$y=|kx-2|$ 的右侧分支为 $y=kx-2$（当 $x>2/k$ 时）。 联立 $y=x^2$ 与 $y=kx-2$： $x^2-kx+2=0$。 令判别式 $\Delta =k^2-8=0⟹k=2\sqrt{2}$（负值舍去）。

• 当 $k=2\sqrt{2}$ 时，恰好相切，此时 $x>0$ 端有 1 个切点 + 1 个交点（左侧分支与 $h(x)$），共 2 个点。

• 当 $k>2\sqrt{2}$ 时，直线 $y=kx-2$ 与抛物线 $x^2$ 相交于两点，加上左侧分支与 $y=1$ 的交点，共 3 个交点。

2. 分析 $k<0$： 当 $k<0$ 时，折线顶点 $2/k<0$。

• $x>0$ 时，$y=|kx-2|=2-kx$（因为 $kx<0$）。由于 $2-kx$ 是增函数且过 $(0,2)$，$y=x^2$ 是下凸且过 $(0,0)$，两者在 $x>0$ 必有 2 个交点。

• $x<0$ 时，$y=|kx-2|$ 与水平线 $y=1$ 必有 1 个交点。

• 总计 3 个交点，符合。

3. 总结范围： $k<0$ 或 $k>2\sqrt{2}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 零点的固定性： 看到含有 $x$ 项的复杂函数，先检查 $x=0$ 是否为根，这能极大简化后续的除法运算。
• 图形的动态平移： 理解 $|kx-2|$ 实际上是一族过 $(0,2)$ 点的射线，随 $k$ 的变化旋转。
• 解析几何工具： 处理“恰有几个交点”时，联立方程求 $\Delta =0$ 是判断相切临界点的标准动作。

📖【试题探源与推广】

Tip

天津卷（无论是旧高考还是新高考）非常青睐这种**“左侧常数/线性，右侧非线性”**的函数组合。

• 核心技巧： 遇到 $|f(x)|=g(x)$，如果 $g(x)$ 的正负性明确，尽量分离 $k$ 或将含 $k$ 的部分归为直线，让不含参数的部分成为固定的背景曲线。
• 本题变式： 如果问 $g(x)$ 恰有 3 个零点，则需要考虑 $k=2\sqrt{2}$ 的切点情况以及 $k=0$ 的情况。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-13 填-折线函数与导数
• 2014-天津卷文-14 填-分段零点
• 2004-广东卷理-19 解-绝对值函数的图象与分段性质