本题导读
本题考查线面垂直的定义与性质。核心在于截面转换法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2020年新高考I卷）4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。把地球看成一个球（球心记为 ），地球上一点 的纬度是指 与地球赤道所在平面所成角，点 处的水平面是指过点 且与 垂直的平面。在点 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 处的纬度为北纬 40°，则晷针与点 处的水平面所成角为（ ）
A. 20° B. 40° C. 50° D. 90°
🔍【思路分析】
破题导航
1. 几何建模（信息翻译）：
纬度 40°： （ 在赤道平面内）。
晷针： 设为直线 。因为晷针垂直于晷面，而晷面平行于赤道面，所以 晷针 赤道面。进一步推导，晷针平行于地球的自转轴（地轴）。
水平面： 设为平面 。已知 。
目标： 求晷针 与水平面 所成的角。
2. 核心逻辑转化： 直线与平面所成的角，等于该直线与平面法线所成角的余角。 但这里有更直接的转化：
- 水平面。
- 晷针 赤道面。
- 所以：晷针与水平面的夹角 = 与赤道面的夹角（即纬度）。
✅【答案】
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B
✍【详细解析】
Abstract
【答案】 B
【解析过程】
分析晷针的方向： 因为晷针垂直于晷面，且晷面平行于赤道平面， 根据空间中“垂直于两个平行平面之一的直线必垂直于另一个”的性质， 晷针垂直于赤道平面。
分析水平面的方向： 点 处的水平面垂直于半径 ，即 是水平面的法线。
利用垂直关系的等量代换： 设晷针所在直线为 ，水平面为 ，赤道面为 。
- 则直线 与平面 所成的角 ，等于直线 与平面 所成的角（即纬度）。
证明： 在截面图中，晷针 垂直于赤道线，水平面线 垂直于 。 由于“若两个角的两边分别对应垂直，则这两个角相等或互补”。 观察图形可知，这两个角相等，均等于 40°。
故选：B。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 结论记忆（地理数学常识）： - 晷针与水平面的夹角 = 当地纬度。
- 晷面与水平面的夹角 = 90° - 当地纬度。
- 跨学科思维： 很多学生看到“纬度”、“赤道”会感到紧张。只要记住：赤道面是参考面，OA 是位置线，水平面是切面，就能化归为简单的垂直平行问题。
- 易错点： 混淆“晷针与水平面”和“晷面与水平面”。如果求的是晷面与水平面的角，则答案是 50°。
📖【试题探源与推广】
Tip
新高考近年来非常喜欢考查此类“背景深厚”的题目：
- 建筑类： 如北京大兴机场的曲面结构（考查双曲线/抛物线）。
- 天文类： 如北极星的仰角（同样等于当地纬度）。
- 器物类： 如《九章算术》中的“阳马”、“鳖臑”（考查多面体体积）。
解题逻辑： 在北半球，日晷的晷针是指向北极星的。而北极星在观测者看来，其仰角（即与水平面的夹角）恰好等于观测者所在地的纬度。这是一个常识性的结论，可直接选 B。
🔗【关联脉络】
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