2020-新高考I卷-07 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量数量积的几何意义。核心在于投影法 (最简)、坐标法 (备选)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）7. 已知 $P$ 是边长为 2 的正六边形 $ABCDEF$ 内的一点，则 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}$ 的取值范围是（ ）

A. $(-2,6)$　　　B. $(-6,2)$　　　C. $(-2,4)$　　　D. $(-4,6)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 数量积的投影定义： $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AB}|\cdot (|\overrightarrow{AP}|\cos \theta )$。 其中 $(|\overrightarrow{AP}|\cos \theta )$ 正是向量 $\overrightarrow{AP}$ 在向量 $\overrightarrow{AB}$ 方向上的投影。 因为 $|\overrightarrow{AB}|=2$ 是定值，所以本题转化为：寻找点 $P$ 在直线 $AB$ 上的投影范围。

2. 寻找投影的边界： 由于 $P$ 在正六边形内部（不含边界），我们需要找到正六边形的顶点在直线 $AB$ 上投影的最小值和最大值。

• 以 $A$ 为原点，直线 $AB$ 为 $x$ 轴。
• 观察各顶点：$A,B,C,D,E,F$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 建立投影参考线： 设直线 $AB$ 为投影轴。过正六边形各顶点向直线 $AB$ 作垂线。

2. 确定极值顶点：

• 最大值方向： 观察图形，顶点 $D$ 和 $C$ 位于 $AB$ 的右侧。 在正六边形中，$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$（或者看作 $AB$ 长度 + $CD$ 在 $AB$ 方向的投影）。 从几何性质可知，点 $D$ 在直线 $AB$ 上的投影点离 $A$ 最远。 $D$ 到直线 $AB$ 的投影长度为：$AB+BC\cdot \cos 60^{\circ }+CD\cdot \cos 0^{\circ }$ 是错误的理解。 正确计算： 延长 $AB$，过 $C$ 作垂线交于 $B_1$，过 $D$ 作垂线交于 $D_1$。 $AB=2$。 $B{B}_1=BC\cdot \cos 60^{\circ }=2\times 0.5=1$。 $B_1{D}_1=CD\cdot \cos 120^{\circ }$ 不对。直接看 $D$ 点坐标： 若 $A(0,0),B(2,0)$，则 $C(3,\sqrt{3}),D(2,2\sqrt{3})$ 不对。 正六边形内角 $120^{\circ }$。$A(0,0),B(2,0),C(3,\sqrt{3}),D(2,2\sqrt{3}),E(0,2\sqrt{3}),F(-1,\sqrt{3})$。 $D$ 的 $x$ 坐标是 $2$，$C$ 的 $x$ 坐标是 $3$。 所以投影最大值接近 $3$（点 $C$ 处）。

3. 重新审视投影边界：

• 投影最左端：顶点 $F$ 在 $AB$ 延长线上的投影。$x_F=2\cos 120^{\circ }=-1$。

• 投影最右端：顶点 $C$ 在 $AB$ 延长线上的投影。$x_C=2+2\cos 60^{\circ }=3$。

• 因为 $P$ 在内部，投影 $x\in (-1,3)$。

4. 计算数量积范围： $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AB}|\cdot x=2\cdot x$。 当 $x\in (-1,3)$ 时，$2x\in (-2,6)$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何直观： 数量积 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 就是“底”乘以“高”（这里的“高”是投影）。只要确定了图形在底边向量方向上的“宽度”，范围就出来了。
• 正六边形常识： 正六边形由 6 个等边三角形组成。这使得它的投影计算非常简单（通常是边长的 $0.5$ 倍或 $1$ 倍）。
• 开闭区间： 题目说点 $P$ 在内，通常指内部不含边界，所以用小括号。

📖【试题探源与推广】

Tip

若几何直观不自信，可快速建系： 设 $A(0,0),B(2,0)$。 则 $\overrightarrow{AB}=(2,0)$。 $\overrightarrow{AP}=(x,y)$。 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=2x$。 此时题目转化为求正六边形内部点的横坐标 $x$ 的范围。 各顶点 $x$ 坐标：$A(0),B(2),C(2+1=3),D(2),E(0),F(-1)$。 最大 $x<3$，最小 $x>-1$。 所以 $2x\in (-2,6)$。

解题逻辑： 正六边形边长为 2。 往左多出一个三角形的“半边”长度 1，往右多出一个三角形的“半边”长度 1。 总长度范围是 $-1$ 到 $2+1=3$。 乘以基底长度 2，得到 $(-2,6)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算
• 2004-全国卷II理-09 单-向量的投影