2020-江苏卷-10 填-函数周期性

本题导读

本题考查三角函数图象平移变换，以及正弦函数的对称轴方程。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）10. 将函数 $y=3\sin (2x+\frac{\pi }{4})$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，则平移后的图象中与 $y$ 轴最近的对称轴的方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 实施平移变换： “向右平移 $\frac{\pi }{6}$”意味着用 $x-\frac{\pi }{6}$ 替换原解析式中的 $x$。 注意解析式应变为 $y=3\sin [2(x-\frac{\pi }{6})+\frac{\pi }{4}]$，而不是简单的在末尾减去常数。

2. 确定对称轴通解： 正弦函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的对称轴出现在波峰或波谷处。 令整体相位 $2x+{\varphi }^{\prime }=\frac{\pi }{2}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

3. 寻找“最近”对称轴： 求出 $x$ 的通项公式后，通过对 $k$ 取整数值（如 $0,-1,1$），比较结果的绝对值大小，找出离 $x=0$ 最近的那个。

✅【答案】

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$x=-\frac{5\pi }{24}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $x=-\frac{5\pi }{24}$

【解析过程】

1. 求平移后的解析式： 向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位： $y=3\sin [2(x-\frac{\pi }{6})+\frac{\pi }{4}]$ $y=3\sin (2x-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4})$ $y=3\sin (2x-\frac{\pi }{12})$

2. 列出对称轴方程： 令 $2x-\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{2}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $2x=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{12}+k\pi$ $2x=\frac{7\pi }{12}+k\pi$ $x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$

3. 确定与 $y$ 轴最近的轴：

• 当 $k=0$ 时，$x=\frac{7\pi }{24}\approx 0.29\pi$
• 当 $k=-1$ 时，$x=\frac{7\pi }{24}-\frac{12\pi }{24}=-\frac{5\pi }{24}\approx -0.21\pi$
• 当 $k=1$ 时，$x=\frac{7\pi }{24}+\frac{12\pi }{24}=\frac{19\pi }{24}\approx 0.79\pi$ 比较可知，$|-\frac{5\pi }{24}|<|\frac{7\pi }{24}|$。 因此，离 $y$ 轴最近的对称轴方程为 $x=-\frac{5\pi }{24}$。

故答案为：$x=-\frac{5\pi }{24}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心陷阱： 平移是针对 $x$。如果不加括号写成 $2x-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}$，结果将完全错误。
• 对称轴 vs 对称中心：
  • 对称轴：相位 $=\frac{\pi }{2}+k\pi$（波峰波谷）。
  • 对称中心：相位 $=k\pi$（平衡位置/零点）。
• 最近判定： 很多考生会想当然地认为 $k=0$ 是最近的，但在有相位偏移的情况下，必须代入 $k=-1$ 或 $k=1$ 进行比对。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目问的是**“平移后图象的一个对称中心”**，则令 $2x-\frac{\pi }{12}=k\pi$，解得 $x=\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$。此时离 $y$ 轴最近的对称中心坐标为 $(\frac{\pi }{24},0)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-07 单-图象平移与对称轴
• 2008-大纲卷I文-09 单-三角图象平移
• 2008-福建卷文-07 单-三角图象平移