2020-江苏卷-11 填-数列求和

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和的结构特，以及等比数列前 $n$ 项和的结构特。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）11. 设 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\{b_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列。已知数列 $\{a_n+b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=n^2-n+2^n-1$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)，则 $d+q$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 解析 $S_n$ 的组成： 由于 $\{a_n+b_n\}$ 的和是两个数列分别求和的叠加，即 $S_n=P_n+Q_n$（其中 $P_n$ 为等差数列和，$Q_n$ 为等比数列和）。

2. 利用结构特征：

• 等差数列和 $P_n$： 是关于 $n$ 的二次常数项为 0 的式子：$P_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$。

• 等比数列和 $Q_n$ ($q\ne 1$)： 具有 $A\cdot q^n-A$ 的形式。

3. 对比系数： 将已知 $S_n=(n^2-n)+(2^n-1)$ 与上述结构比对：

• $n^2-n$ 对应等差部分。
• $2^n-1$ 对应等比部分。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 4

【解析过程】

1. 对比等差部分： $P_n=n^2-n$。 根据等差数列求和公式 $P_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$， 对比 $n^2$ 的系数得：$\frac{d}{2}=1⟹d=2$。

2. 对比等比部分： $Q_n=2^n-1$。 根据等比数列求和公式 $Q_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{b_1}{q-1}\cdot q^n-\frac{b_1}{q-1}$。 对比底数部分得：$q=2$。 （验证系数：当 $q=2$ 时，$\frac{b_1}{2-1}=1⟹b_1=1$，结构完全吻合）

3. 求和： $d+q=2+2=4$。

故答案为：4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心结论： * 若 $S_n=A{n}^2+Bn$，则该数列为等差数列，且 $d=2A$。
  • 若 $S_n=A\cdot q^n-A$，则该数列为等比数列，公比为 $q$。
• 解题速度： 在江苏卷填空题中，利用结构特征比对通常比利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 计算通项快得多。
• 易错点： 如果 $S_n$ 的常数项不为 0（如 $n^2-n+1$），则等差数列从第二项起才成立，但在本题中 $Q_n$ 的常数项 $-1$ 恰好抵消了结构需求，说明这是一个完美的叠加。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目给出的是 $S_n=3n^2+2^n+C$，且已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，则 $C$ 必须是多少？ 根据等比数列和的形式 $A\cdot q^n-A$，此处 $A=1,q=2$，所以常数项必须为 $-1$。即 $C=-1$。 这类关于“数列求和公式常数项”的考察是江苏卷的经典套路。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2021-天津卷-19 解-数列综合
• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2011-湖北卷文-17 解-等差等比数列