2020-浙江卷-08 单-两点距离

本题导读

本题考查双曲线的定义。核心在于定义转化法、方程组联立法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）8. 已知点 $O(0,0)$，$A(-2,0)$，$B(2,0)$。设点 $P$ 满足 $|PA|-|PB|=2$，且 $P$ 为函数 $y=3\sqrt{4-x^2}$ 图象上的点，则 $|OP|=$（ ）

A. $\frac{\sqrt{22}}{2}$　　　　　　B. $\frac{4\sqrt{10}}{5}$　　　　　　C. $\sqrt{7}$　　　　　　D. $\sqrt{10}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 轨迹一：双曲线定义

• 观察条件 $|PA|-|PB|=2$。点 $A(-2,0)$ 和 $B(2,0)$ 是定点，距离 $|AB|=4$。

• 因为 $|PA|-|PB|=2<|AB|$，根据双曲线定义，点 $P$ 的轨迹是以 $A,B$ 为焦点的双曲线的右支。

• 参数确定：$2c=4⟹c=2$；实轴长 $2a=2⟹a=1$。

• 计算 $b^2$：$b^2=c^2-a^2=4-1=3$。

• 得到方程：$x^2-\frac{y^2}{3}=1$（且 $x>0$）。

2. 轨迹二：函数图象分析

• 观察函数 $y=3\sqrt{4-x^2}$。
• 平方变形：$y^2=9(4-x^2)⟹\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{36}=1$。
• 注意范围： 由于 $y=3\sqrt{\dots }$，所以 $y\ge 0$。这是中心在原点、长轴在 $y$ 轴上的椭圆的上半部分。

3. 联立求解：

• 将两个曲线方程联立，消去 $y$ 或 $x$，求出点 $P$ 的坐标。
• 最后利用距离公式 $|OP|=\sqrt{x^2+y^2}$ 计算结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 确定双曲线方程： 由 $|PA|-|PB|=2$，焦点为 $(\pm 2,0)$，得 $a=1,c=2,b^2=3$。 轨迹方程为：$x^2-\frac{y^2}{3}=1(x\ge 1)$ —— ①

2. 处理函数方程： 由 $y=3\sqrt{4-x^2}$，得 $y^2=36-9x^2(y\ge 0)$ —— ②

3. 联立方程组： 将 ② 代入 ① 中消去 $y^2$： $x^2-\frac{36-9x^2}{3}=1$ $x^2-(12-3x^2)=1$ $4x^2=13⟹x^2=\frac{13}{4}$。

4. 计算 $|OP|$： 我们需要求的是 $|OP|=\sqrt{x^2+y^2}$。 已知 $x^2=\frac{13}{4}$，将其代入 ② 中求 $y^2$： $y^2=36-9\cdot \frac{13}{4}=36-\frac{117}{4}=\frac{144-117}{4}=\frac{27}{4}$。 则 $|OP{|}^2=x^2+y^2=\frac{13}{4}+\frac{27}{4}=\frac{40}{4}=10$。 所以 $|OP|=\sqrt{10}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义的敏感度： $|P{F}_1|\pm |P{F}_2|=2a$ 是圆锥曲线题目的核心入口，看到这种绝对值之差或之和的形式要立刻反应出椭圆或双曲线。
• 范围的陷阱： 浙江卷常在函数形式的曲线中隐藏范围。例如本题的 $y\ge 0$，虽然计算 $|OP|$ 时直接用了 $y^2$，但在判断交点个数或具体位置时，范围至关重要。
• 计算技巧： 在最后一步，不需要分别求出 $x$ 和 $y$ 的准确值，直接保留 $x^2$ 和 $y^2$ 代入 $|OP{|}^2=x^2+y^2$ 更加简便且不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

• $y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}⟹$ 椭圆的一部分。
• $y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}⟹$ 双曲线的一部分。
• $y=a\sqrt{x}⟹$ 抛物线的一半。

快速求解： 看到 $|PA|-|PB|=2$ 想到 $x^2-y^2/3=1$；看到 $y=3\sqrt{4-x^2}$ 想到 $y^2=36-9x^2$。联立消 $y$ 得 $x^2=3.25$，则 $y^2=36-29.25=6.75$。相加得 10。选 D。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程
• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程
• 2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义