2021-上海卷-17 解-立几综合

本题导读

本题考查棱锥的体积公式。核心在于等积变换法、垂线法 (寻找线面角)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）17. 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=BC=2$，$A{A}_1=3$。

（1）若 $P$ 是边 $A_1{D}_1$ 上的动点，求三棱锥 $P-ADC$ 的体积；

（2）求 $A{B}_1$ 与平面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成的角的大小。

🔍【思路分析】

破题导航

第一问： 观察底面 $△ADC$。其面积是固定的。动点 $P$ 在 $A_1{D}_1$ 上移动，而 $A_1{D}_1\parallel$ 平面 $ABCD$。因此，$P$ 到平面 $ADC$ 的距离始终等于长方体的高 $A{A}_1$。直接使用 $V=\frac{1}{3}Sh$ 即可。 第二问： - 找垂线： 在长方体中，底面是正方形（$AB=BC$）。连结 $A_1{C}_1,B_1{D}_1$ 交于点 $O_1$。易知 $B_1{O}_1\perp A_1{C}_1$ 且 $B_1{O}_1\perp A{A}_1$，故 $B_1{O}_1\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$。

• 定角度： 点 $B_1$ 在平面 $AC{C}_1{A}_1$ 上的射影是点 $O_1$，因此 $A{B}_1$ 与该平面所成的角即为 $\angle B_{1}A{O}_1$。
• 算数值： 在直角 $△B_{1}A{O}_1$ 中，利用勾股定理求出相关边长，通过正弦或余弦值求角。

✍【详细解析】

Abstract

（1）求三棱锥 $P-ADC$ 的体积 在长方体中，$A_1{D}_1\parallel AD$。因为 $AD\subset$ 平面 $ADC$，所以 $A_1{D}_1\parallel$ 平面 $ADC$。 故动点 $P$ 到平面 $ADC$ 的距离 $h$ 为定值，且 $h=A{A}_1=3$。 底面 $△ADC$ 是直角三角形，其面积为： $S_{△ADC}=\frac{1}{2}\times AD\times DC=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$ 则三棱锥的体积为： $V_{P-ADC}=\frac{1}{3}\times S_{△ADC}\times h=\frac{1}{3}\times 2\times 3=2$

（2）求 $A{B}_1$ 与平面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成的角 连结 $A_1{C}_1,B_1{D}_1$ 交于点 $O_1$。 因为 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是边长为 $2$ 的正方形，所以 $B_1{O}_1\perp A_1{C}_1$。 又因为 $A{A}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，且 $B_1{O}_1\subset$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$， 所以 $A{A}_1\perp B_1{O}_1$。 又 $A{A}_1\cap A_1{C}_1=A_1$，故 $B_1{O}_1\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$。 连结 $A{O}_1$，则 $\angle B_{1}A{O}_1$ 即为直线 $A{B}_1$ 与平面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成的角 $\theta$。

在 $\text{Rt}△A_1{B}_1{O}_1$ 中： $B_1{O}_1=\frac{1}{2}{B}_1{D}_1=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}=\sqrt{2}$ 在 $\text{Rt}△A{A}_1{B}_1$ 中： $A{B}_1=\sqrt{A{A}_1^2+A_1{B}_1^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$ 在 $\text{Rt}△A{B}_1{O}_1$ 中： $\sin \theta =\frac{B_1{O}_1}{A{B}_1}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{26}}{13}$ 所以，$A{B}_1$ 与平面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成的角的大小为 $\arcsin \frac{\sqrt{26}}{13}$。

✅【答案】

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(1) 三棱锥 $P-ADC$ 的体积为 $2$

(2) $A{B}_1$ 与平面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成的角为 $\arcsin \frac{\sqrt{26}}{13}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 体积计算的“定值”思想： 遇到动点求体积，优先观察动点轨迹是否与底面平行。如果是，则高度为定值，省去复杂的动态分析。
• 找线面角的关键： “找垂线”是第一优先级。在长方体或正棱柱中，利用底面对角线的垂直关系寻找平面的法线是最常用的技巧。
• 结果表达： 结果不是特殊角时，必须使用反三角函数符号（$\arcsin$ 或 $\arccos$）准确表达。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积
• 2014-上海卷文-19 解-正四面体展开
• 1987-全国卷理-17 解-三棱锥的体积