2021-乙卷文-20 解-抛物线综合

本题导读

本题考查抛物线的定义与标准方程。核心在于待定系数法、坐标转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）已知抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 2.

（1） 求 $C$ 的方程；

（2） 已知 $O$ 为坐标原点, 点 $P$ 在 $C$ 上, 点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{PQ}=9\overrightarrow{QF}$, 求直线 $OQ$ 斜率的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 根据抛物线焦点到准线的距离为 $p$ 直接求出 $p$ 的值，写出抛物线方程。
2. 设点 $P(x_0,y_0)$，根据向量关系 $\overrightarrow{PQ}=9\overrightarrow{QF}$ 利用坐标分点公式或向量等式求出点 $Q$ 的坐标。
3. 表示出直线 $OQ$ 的斜率，将其转化为关于点 $P$ 纵坐标 $y_0$ 的函数，利用导数或基本不等式求斜率的最大值。

✅【答案】

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$p=2$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 因为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的焦点到准线的距离为 $p$， 所以 $p=2$. 因此，抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=4x$.

（2） 焦点 $F$ 的坐标为 $(1,0)$. 设点 $P(x_0,y_0)$ 在抛物线 $C$ 上，满足 $y_0^2=4x_0$. 设点 $Q(x,y)$. 由 $\overrightarrow{PQ}=9\overrightarrow{QF}$ 可得： $(x-x_0,y-y_0)=9(1-x,-y)$ 即 $\{\begin{array}{l}x-x_0=9(1-x)\\ y-y_0=-9y\end{array}$ 化简得： $10x=x_0+9⟹x=\frac{x_0+9}{10}$， $10y=y_0⟹y=\frac{y_0}{10}$. 因此点 $Q$ 的坐标为 $\left(\frac{x_0+9}{10},\frac{y_0}{10}\right)$。 因为点 $P(x_0,y_0)$ 在抛物线上，所以 $x_0=\frac{y_0^2}{4}$. 代入得点 $Q$ 的坐标为 $\left(\frac{\frac{y_0^2}{4}+9}{10},\frac{y_0}{10}\right)=\left(\frac{y_0^2+36}{40},\frac{y_0}{10}\right)$。 直线 $OQ$ 的斜率 $k$ 为： $k=\frac{y-0}{x-0}=\frac{\frac{y_0}{10}}{\frac{y_0^2+36}{40}}=\frac{4y_0}{y_0^2+36}=\frac{4}{y_0+\frac{36}{y_0}}$。 当 $y_0>0$ 时，由基本不等式得 $y_0+\frac{36}{y_0}\ge 2\sqrt{y_0\cdot \frac{36}{y_0}}=12$ （当且仅当 $y_0=6$ 时取等号）， 此时 $k\le \frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。 当 $y_0<0$ 时，斜率 $k<0$. 因此，直线 $OQ$ 斜率的最大值为 $\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线定义、向量坐标运算、基本不等式求最值。
2. 核心方法：通过参数代换将直线斜率表示为单变量函数，利用均值不等式求解。
3. 避坑指南：向量关系式转化为坐标关系时切勿漏乘系数，注意分母不为零的条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考圆锥曲线与向量综合压轴题。
2. 结论推广：动点轨迹结合定比分点或向量共线问题，常通过参数化坐标转化为函数极值问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义
• 2014-湖北卷理-21 解-抛物线定义
• 1988-全国卷理-25 解-椭圆与抛物线的定义