2021-乙卷理-02 单-集合运算

本题导读

本题考查交集，以及子集。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）已知集合 $S=\{s\mid s=2n+1,n\in \mathbb{Z}\}$，$T=\{t\mid t=4n+1,n\in \mathbb{Z}\}$，则 $S\cap T=($　　$)$

A. $\varnothing$　　　　　　　　B. $S$　　　　　　　　C. $T$　　　　　　　　D. $\mathbb{Z}$

🔍【思路分析】

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1. 识别集合的数学本质：集合 $S$ 的元素形式为 $2n+1$，这代表了全体奇数。集合 $T$ 的元素形式为 $4n+1$，这代表了被 4 除余 1 的整数。

2. 判定包含关系：探究集合 $T$ 中的元素是否都能在集合 $S$ 中找到。通过将 $T$ 中的通项变形为 $2(2n)+1$，可以清晰地看到它符合集合 $S$ 的定义结构，从而推断出 $T$ 是 $S$ 的子集。

3. 计算交集：根据集合运算的基本性质，若 $T\subseteq S$，则它们的交集就是较小的那个集合 $T$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：通项分类讨论法（通法）

1. 分析集合 $S$ 的元素构成：

   集合 $S$ 的通项为 $s=2n+1(n\in \mathbb{Z})$。我们可以根据 $n$ 的奇偶性进行分类讨论：

   • 当 $n$ 是偶数时，设 $n=2k(k\in \mathbb{Z})$，则 $s=2(2k)+1=4k+1$；

   • 当 $n$ 是奇数时，设 $n=2k+1(k\in \mathbb{Z})$，则 $s=2(2k+1)+1=4k+3$。

     这说明集合 $S$ 实际上由所有形如 $4k+1$ 和 $4k+3$ 的整数组合而成。

2. 确定集合间的包含关系：

   集合 $T$ 的元素形式恰好为 $t=4n+1(n\in \mathbb{Z})$。

   对比可知，集合 $T$ 完全是集合 $S$ 中当 $n$ 取偶数时生成的那一半元素。

   因此，集合 $T$ 包含于集合 $S$ 中，且为真子集，即 $T⫋S$。

3. 执行交集运算：

   根据集合的交集性质，若 $T\subseteq S$，则有：

   $S\cap T=T$

方法二：代数结构直接判定法（快捷法）

对于集合 $T$ 中的任意一个元素 $t=4n+1(n\in \mathbb{Z})$。

可以将其改写为 $t=2(2n)+1$。

因为 $n\in \mathbb{Z}$，所以 $2n\in \mathbb{Z}$。

令 $m=2n\in \mathbb{Z}$，则 $t=2m+1$。

这说明 $t$ 完全满足集合 $S$ 中元素 $s=2m+1$ 的定义形式。

故任意属于 $T$ 的元素必属于 $S$，即 $T\subseteq S$。

因此交集 $S\cap T=T$。

结论：

对应选项 C 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：处理无限离散集的交、并运算，核心是寻找它们通项之间的整除关系或包含关系。代数上的“大跨度（步长4）”生成的集合，往往是“小跨度（步长2）”集合的子集。

• 规律总结：对于等差数列生成的集合，如果集合 $A$ 的公差是集合 $B$ 的公差的整数倍，且它们有公共元素，那么集合 $A$ 必然是集合 $B$ 的子集。本题中 $T$ 的步长是 $4$，$S$ 的步长是 $2$，$4$ 是 $2$ 的倍数，所以 $T$ 必然包含在 $S$ 中。

• 避坑指南：很多考生习惯于直接联立方程 $2n_1+1=4n_2+1$，得到 $n_1=2n_2$，这其实也能证明“对于每一个 $T$ 里的项，都能在 $S$ 里找到对应项”，但不要因为字母 $n$ 相同就产生混淆，这里的 $n$ 只是一个代表参数，两边的 $n$ 取值相互独立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-01 单-集合交集
• 2014-大纲卷理-02 单-集合交集
• 2014-山东卷理-02 单-集合交集