2021-乙卷理-12 单-导数比较大小

本题导读

本题考查利用导数比较大小，以及构造函数。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）设 $a=2\ln 1.01$，$b=\ln 1.02$，$c=\sqrt{1.04}-1$，则 $($　　$)$

A. $a<b<c$　　　　　B. $b<c<a$　　　　　C. $b<a<c$　　　　　D. $c<a<b$

🔍【思路分析】

破题导航

本题是经典的高考导数比较大小压轴题。观察 $a,b,c$ 的表达式，发现它们都与数值 $0.01,0.02,0.04$ 有关。

1. 第一步（白给的比较）：利用对数的运算法则，先比较 $a$ 和 $b$。$a=2\ln 1.01=\ln (1.01^2)=\ln 1.0201$，因为对数函数 $y=\ln x$ 在定义域上单调递增，显然 $a>b$。此时可排除 A、D 选项。

2. 第二步（构造函数核心）：在选项 B 和 C 中，只需比较 $a$ 和 $c$ 的大小即可。将问题一般化，观察 $a$ 和 $c$ 的结构特征：$a=2\ln (1+0.01)$，$c=\sqrt{1+4\times 0.01}-1$。因此，自然联想到构造函数 $f(x)=2\ln (1+x)-(\sqrt{1+4x}-1)$，求导判断其在 $x>0$（具体来说是 $x=0.01$ 附近）的单调性。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：构造函数与作差比较（王亮老师补解，极简通法，强烈推荐）

首先比较 $a$ 与 $b$：

$a=2\ln 1.01=\ln (1.01^2)=\ln 1.0201$

$b=\ln 1.02$

因为函数 $y=\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，且 $1.0201>1.02$，

所以 $a>b$，排除 A 和 D。结合选项 B、C，只需判断 $a,c$ 的大小关系。

观察 $a=2\ln 1.01$ 和 $c=\sqrt{1.04}-1$，发现 $0.04=4\times 0.01$。

构造函数 $f(x)=2\ln (1+x)-(\sqrt{1+4x}-1)$，考虑其在 $x\in (0,1)$ 上的单调性。

对 $f(x)$ 求导：

$f^{\prime }(x)=\frac{2}{1+x}-\frac{2\times 4}{2\sqrt{1+4x}}=\frac{2}{1+x}-\frac{4}{\sqrt{1+4x}}$

提出公因数 $2$ 并通分：

$f^{\prime }(x)=2\left(\frac{\sqrt{1+4x}-2(1+x)}{(1+x)\sqrt{1+4x}}\right)$ (注：此处稍作变形，也可直接作差比较分子)

我们更巧妙地提因式比较：

$f^{\prime }(x)=\frac{2}{1+x}-\frac{2}{\sqrt{1+4x}/2}$，似乎不好比较。我们直接将分式写为：

$f^{\prime }(x)=2\cdot \frac{\sqrt{1+4x}-(1+x)}{(1+x)\sqrt{1+4x}}$

接下来判断分子 $\sqrt{1+4x}-(1+x)$ 的符号：

取平方作差（因为 $x>0$，各项均为正）：

$(\sqrt{1+4x}{)}^2-(1+x{)}^2=1+4x-(1+2x+x^2)=2x-x^2=x(2-x)$

因为 $0<x<1$，所以 $x(2-x)>0$。

这说明 $\sqrt{1+4x}>1+x$ 恒成立！

因此，$f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增。

故 $f(0.01)>f(0)=2\ln (1+0)-(\sqrt{1+0}-1)=0$。

即 $2\ln 1.01-(\sqrt{1.04}-1)>0$，所以 $a>c$。

综上所述，$a>c$ 且 $a>b$。在排除 A、D 且确认 $a>c$ 的情况下，只能选 B（即 $b<c<a$）。

故选 B。

解法二：换元求导法（原卷标准答案路径，较为繁琐）

前半部分同理，$a>b$。

比较 $a$ 与 $c$：构造 $f(x)=2\ln (1+x)-(\sqrt{1+4x}-1)$，其中 $x\in (0,1)$。

令 $t=\sqrt{1+4x}$，则由于 $0<x<1$，所以 $1<t<\sqrt{5}$。

反解得 $x=\frac{t^2-1}{4}$。

代入 $f(x)$ 得到关于 $t$ 的函数 $g(t)$：

$g(t)=2\ln \left(1+\frac{t^2-1}{4}\right)-(t-1)=2\ln \left(\frac{t^2+3}{4}\right)-t+1=2\ln (t^2+3)-t+1-2\ln 4$

求导：

$g^{\prime }(t)=2\cdot \frac{2t}{t^2+3}-1=\frac{4t-t^2-3}{t^2+3}=\frac{-(t-1)(t-3)}{t^2+3}$

因为 $1<t<\sqrt{5}<3$，所以 $t-1>0$ 且 $t-3<0$，

因此 $g^{\prime }(t)>0$，$g(t)$ 在 $(1,\sqrt{5})$ 上单调递增。

故 $g(t)>g(1)=2\ln (1^2+3)-1+1-2\ln 4=2\ln 4-2\ln 4=0$。

从而 $f(x)>0$，即 $a>c$。

同理，比较 $b$ 与 $c$：构造 $h(x)=\ln (1+2x)-(\sqrt{1+4x}-1)$。

（注意此处构造是因为 $b=\ln 1.02=\ln (1+2\times 0.01)$）

依然令 $t=\sqrt{1+4x}$，$1<t<\sqrt{5}$，则 $1+2x=1+\frac{t^2-1}{2}=\frac{t^2+1}{2}$。

得到 $\phi (t)=\ln \left(\frac{t^2+1}{2}\right)-t+1=\ln (t^2+1)-t+1-\ln 2$

${\phi }^{\prime }(t)=\frac{2t}{t^2+1}-1=\frac{-(t-1{)}^2}{t^2+1}<0$

所以 $\phi (t)$ 在 $(1,\sqrt{5})$ 上单调递减。

故 $\phi (t)<\phi (1)=\ln 2-1+1-\ln 2=0$。

从而 $h(x)<0$，即 $b<c$。

综合得 $b<c<a$。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心突破口：分析常数的内在联系。题目给出的数值 $1.01,1.02,1.04$ 并不是孤立的，其本质是 $1+x,1+2x,1+4x$（其中 $x=0.01$）。找准这个核心变量 $x$，是构造函数的先决条件。

2. 导数符号的判定技巧：在解法一中，我们遇到了判定 $\frac{2}{1+x}-\frac{2}{\sqrt{1+4x}/2}$ 符号的问题。这里没有去硬算二次导数，而是利用了“作差并利用平方放缩”的代数技巧 $\sqrt{1+4x}>1+x$。这种根号与多项式比大小的技巧在导数放缩中极为常见。

3. 换元法的化繁为简：解法二展示了遇到根式构造函数时的一般处理方法——将根号整体换元（$t=\sqrt{1+4x}$）。这样可以将无理函数的导数问题转化为有理分式对数函数的求导，大大降低了求导后判定符号的复杂度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷理-09 单-导数在函数单调性中的应用

• 2014-湖北卷文-21 解-导数比较

• 2014-湖北卷理-22 解-导数单调性