2014-湖北卷文-21 解-导数比较

本题导读

(1) 求导分正负；(2) 六个数取对数后统一为 $\frac{\ln x}{x}$ 的值，用单调性与中介量传递。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） $\pi$ 为圆周率，$e=2.71828\cdots$ 为自然对数的底数.

(1) 求函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 的单调区间；

(2) 求 $e^3$，$3^e$，$e^{\pi }$，${\pi }^e$，$3^{\pi }$，${\pi }^3$ 这 6 个数中的最大数与最小数.

🔍【思路分析】

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$f\acute{(}x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$；六个数取 $\ln$ 后比 $\frac{\ln x}{x}$。

✅【答案】

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(1) 增区间 $(0,e)$，减区间 $(e,+\infty )$；(2) 最大数 $3^{\pi }$，最小数 $3^e$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 定义域 $x>0$，$f\acute{(}x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$。当 $0<x<e$ 时 $f\acute{(}x)>0$，当 $x>e$ 时 $f\acute{(}x)<0$，故增区间为 $(0,e)$，减区间为 $(e,+\infty )$。 (2) 记 $\phi (x)=\frac{\ln x}{x}$，六个数取自然对数分别为 $3\ln e=3$，$e\ln 3$，$\pi \ln e=\pi$，$e\ln \pi$，$\pi \ln 3$，$3\ln \pi$，即比较 $\phi (3)$、$\phi (\pi )$ 与 $\ln 3$、$\ln \pi$ 的组合。 由 $e<3<\pi$ 及 $\phi$ 在 $(e,+\infty )$ 上递减：$\phi (e)>\phi (3)>\phi (\pi )$，即 $\frac{1}{e}>\frac{\ln 3}{3}>\frac{\ln \pi }{\pi }$。 $\phi (3)>\phi (\pi )$ 等价于 $\pi \ln 3>3\ln \pi$，即 $\ln 3^{\pi }>\ln {\pi }^3$，故 $3^{\pi }>{\pi }^3$；又 $3<\pi$ 得 ${\pi }^3>3^3$、${\pi }^3>{\pi }^e$（底同指大），$3^{\pi }>3^e$、$3^{\pi }>e^{\pi }$（指同底大），故 $3^{\pi }$ 大于其余五个数。 $\phi (e)>\phi (3)$ 等价于 $e\ln 3<3$，即 $\ln 3^e<\ln e^3$，故 $3^e<e^3$；又 $3^e<e^3<e^{\pi }$（底同指大）、$3^e<3^{\pi }<{\pi }^3$、$3^e<{\pi }^e$（指同底大），故 $3^e$ 小于其余五个数。 综上：最大数为 $3^{\pi }$，最小数为 $3^e$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：$\ln x/x$ 型函数与比较大小

2. 核心方法：单调性 + 中介量搭桥

3. 避坑指南：六个数两两比较不能硬算：统一写成 $\phi (\ln )=\frac{\ln x}{x}$ 的取值问题，利用 $\phi$ 在 $(e,+\infty )$ 递减得 $\phi (e)>\phi (3)>\phi (3?)$，再以 $3$、$\pi$ 为中介量逐对传递。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 幂指结构的比较大小压轴。

2. 结论推广: 比较 $a^b$ 与 $b^a$ 取对数化为 $\frac{\ln x}{x}$；$\frac{\ln x}{x}$ 在 $(0,e)$ 增、$(e,+\infty )$ 减是核心工具。

3. 方法推广: 多个幂指数比较大小：先按「同底」「同指」分组，再借助 $\ln 2<1<\ln 3$ 与 $e<3<\pi$ 等事实设置中介。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-22 解-导数单调性
• 2014-山东卷理-16 解-向量坐标运算