2021-乙卷理-17 解-统计综合

本题导读

本题考查平均数。核心在于定义法/公式法、数据平移简化法 (运算技巧)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 $10$ 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

组别	数据
旧设备	$9.8$	$10.3$	$10.0$	$10.2$	$9.9$	$9.8$	$10.0$	$10.1$	$10.2$	$9.7$
新设备	$10.1$	$10.4$	$10.1$	$10.0$	$10.1$	$10.3$	$10.6$	$10.5$	$10.4$	$10.5$

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\overline{x}$ 和 $\overline{y}$，样本方差分别记为 $s_1^2$ 和 $s_2^2$．

（1）求 $\overline{x}$，$\overline{y}$，$s_1^2$，$s_2^2$；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\overline{y}-\overline{x}⩾2\sqrt{\frac{s_1^2+s_2^2}{10}}$，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

🔍【思路分析】

破题导航

本题是一道纯粹的数据计算与分析题，考查内容基础。

• 第（1）问：直接利用样本平均数 $\overline{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$ 和方差 $s^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$ 的定义公式进行运算即可。为了避免计算错误，提取出整数部分（如 $10$）作为基准，计算偏差值会大大简化过程。

• 第（2）问：将第（1）问求出的值代入题目给定的判别式中进行比较。这里的核心难点是如何在没有计算器的情况下比较 $0.3$ 和 $2\sqrt{0.0076}$ 的大小。可以通过平方或者寻找一个易于开方的数（如 $0.01$）进行放缩比较。

✅【答案】

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$\sqrt{0.0076}<\sqrt{0.01}=0.1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）计算平均数与方差

对于旧设备生产的 $10$ 个数据，应用平均数公式：

$\begin{array}{rl}\overline{x}& =\frac{1}{10}\times (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)\\ & =\frac{1}{10}\times 100\\ & =10\end{array}$

对于新设备生产的 $10$ 个数据，同理：

$\begin{array}{rl}\overline{y}& =\frac{1}{10}\times (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)\\ & =\frac{1}{10}\times 103\\ & =10.3\end{array}$

利用方差公式 $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\overline{x}{)}^2$，计算旧设备的方差 $s_1^2$：

$\begin{array}{rl}{s}_1^2& =\frac{1}{10}\times [(9.8-10{)}^2+(10.3-10{)}^2+(10-10{)}^2+(10.2-10{)}^2+(9.9-10{)}^2\\ & +(9.8-10{)}^2+(10-10{)}^2+(10.1-10{)}^2+(10.2-10{)}^2+(9.7-10{)}^2]\\ & =\frac{1}{10}\times [(-0.2{)}^2+0.3^2+0^2+0.2^2+(-0.1{)}^2+(-0.2{)}^2+0^2+0.1^2+0.2^2+(-0.3{)}^2]\\ & =\frac{1}{10}\times (0.04+0.09+0+0.04+0.01+0.04+0+0.01+0.04+0.09)\\ & =\frac{0.36}{10}=0.036\end{array}$

计算新设备的方差 $s_2^2$：

$\begin{array}{rl}{s}_2^2& =\frac{1}{10}\times [(10.1-10.3{)}^2+(10.4-10.3{)}^2+(10.1-10.3{)}^2+(10.0-10.3{)}^2+(10.1-10.3{)}^2\\ & +(10.3-10.3{)}^2+(10.6-10.3{)}^2+(10.5-10.3{)}^2+(10.4-10.3{)}^2+(10.5-10.3{)}^2]\\ & =\frac{1}{10}\times [(-0.2{)}^2+0.1^2+(-0.2{)}^2+(-0.3{)}^2+(-0.2{)}^2+0^2+0.3^2+0.2^2+0.1^2+0.2^2]\\ & =\frac{1}{10}\times (0.04+0.01+0.04+0.09+0.04+0+0.09+0.04+0.01+0.04)\\ & =\frac{0.40}{10}=0.04\end{array}$

综上可得：$\overline{x}=10$，$\overline{y}=10.3$，$s_1^2=0.036$，$s_2^2=0.04$。

（2）判断均值是否有显著提高

根据（1）中的结果，计算判定式左侧的差值：

$\overline{y}-\overline{x}=10.3-10=0.3$

计算判定式右侧的值：

$2\sqrt{\frac{s_1^2+s_2^2}{10}}=2\sqrt{\frac{0.036+0.04}{10}}=2\sqrt{\frac{0.076}{10}}=2\sqrt{0.0076}$

【考场快速比较技巧（免开根号）】

我们不需要精确求出 $\sqrt{0.0076}$ 的值，只需要比较大小。

显然 $0.0076<0.01$，

所以 $\sqrt{0.0076}<\sqrt{0.01}=0.1$，

则 $2\sqrt{0.0076}<2\times 0.1=0.2$。

因为 $0.3>0.2$，所以显然有 $0.3>2\sqrt{0.0076}$。

(严格的书面比较法也可两边平方：左边 $0.3^2=0.09$，右边 $(2\sqrt{0.0076}{)}^2=4\times 0.0076=0.0304$。因为 $0.09>0.0304$，故 $0.3>2\sqrt{0.0076}$)

因此，$\overline{y}-\overline{x}>2\sqrt{\frac{s_1^2+s_2^2}{10}}$ 成立。

结论：新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “数据平移”简化计算：高考遇到大量带有小数的数据时，不建议直接硬算。由于 $D(X+C)=D(X)$（数据同时加上一个常数不改变方差），我们可以把所有数据减去 $10$。例如旧数据变为 $-0.2,0.3,\mathrm{0...}$，这样无论是求均值还是求方差，心算就能完成，极大降低了由于笔误导致丢分的风险。

2. 根号估算与比较大小：在解答题中遇到难以直接开方的小数时（如本题的 $\sqrt{0.0076}$），不要强行笔算近似值。采用放缩法（找一个容易开方且大于/小于它的数）或两边平方来比较大小，既严谨又快捷，这是高考必须掌握的核心应试技巧。

3. 审题严谨：按照题目最后给定的文字模板做最终的结论陈述，不要遗漏“有显著提高”等关键字。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-06 单-平均数与方差
• 2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差
• 2013-江苏卷-06 填-平均数