2021-北京卷-10 单-数列最值

本题导读

本题考查等差数列的前n项和，以及数列的综合应用。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）数列 $\{a_n\}$ 是递增的整数数列，且 $a_1\ge 3$，$a_1+a_2+\cdots +a_n=100$，则 $n$ 的最大值为（\quad）

A. $9$　　　　　　　B. $10$　　　　　　　C. $11$　　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

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识别问题类型：本题考查满足特定条件的数列项数的最值问题，核心思想是“极端原理”。

已知条件转化：

1. “$\{a_n\}$ 是整数数列” 且 “递增”：这意味着相邻两项之间的差至少为 $1$，即 $a_{k+1}-a_k\ge 1$（$k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。

2. 首项条件：$a_1\ge 3$。

3. 求和条件：前 $n$ 项和为 $100$。

   求解策略：

   要使项数 $n$ 尽可能大，那么数列中的每一项就必须尽可能小。

   因此，我们需要构造一个满足条件的“最小数列”，即首项取最小值 $3$，且每次递增的幅度也取最小值 $1$。计算这个“极小等差数列”的前 $n$ 项和，找出刚好不超过 $100$ 的最大项数 $n$，并验证剩余的数值是否能合法分配。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：构造极端“最小”数列

若要使项数 $n$ 尽可能地大，则数列的每一项都要尽可能地小。

由题意 $a_1\ge 3$，我们取最小可能值：$a_1=3$。

又因为 $\{a_n\}$ 是递增的整数数列，所以最小的递增幅度（公差）为 $1$。

于是我们构造出一个首项为 $3$、公差为 $1$ 的等差数列，即：$3,4,5,6,\dots$

该数列的通项公式为 $a_n=n+2$。

第二步：计算前 $n$ 项和并寻找临界值

设该构造数列的前 $n$ 项和为 $S_n$。

根据等差数列求和公式：

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(3+n+2)}{2}=\frac{n(n+5)}{2}$。

我们需要寻找使得 $S_n\le 100$ 的最大整数 $n$。

代入选项进行估算：

• 当 $n=10$ 时，$S_{10}=\frac{10\times 15}{2}=75<100$；

• 当 $n=11$ 时，$S_{11}=\frac{11\times 16}{2}=88<100$；

• 当 $n=12$ 时，$S_{12}=\frac{12\times 17}{2}=102>100$。

第三步：逻辑验证（关键一步）

如果 $n=12$，即使每一项都取到理论上的最小值，总和也达到了 $102$，超过了 $100$，因此 $n$ 绝不可能等于 $12$ 或更大。所以 $n\le 11$。

那么 $n$ 能否取到 $11$ 呢？

当 $n=11$ 时，最小的 $11$ 项之和为 $88$。距离目标 $100$ 还差 $100-88=12$。

我们只需要将这多出来的 $12$ 随意加到数列的后面项上（例如全部加到最后一项 $a_{11}$ 上），

即可得到一个新数列：$3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(13+12)$，

即：$3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,25$。

这个新数列依然是一个递增的整数数列，首项为 $3$，且前 $11$ 项和恰好为 $100$。

所以 $n$ 可以取到 $11$。

结论：对应选项 C 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：

1. 极端原理（贪心算法在数学中的应用）：要求总量固定的情况下项数最多，必须让“每一项的消耗”最小。这是解决此类组合最值问题的核心破题点。

2. “递增的整数数列”的数学翻译：隐含条件是 $a_{k+1}-a_k\ge 1$，即最紧凑的排列是公差为 $1$ 的等差数列。

   逻辑严密性提醒：

   很多同学在算出 $S_{11}=88$ 后直接选了 $11$，虽然结果对了，但逻辑并不完整。必须明白：$88<100$ 意味着**“还有余量可以分配”，且将余量加在末项上不会破坏原数列的单调递增性**。如果是一道解答题，缺少了“构造验证”这一步是会被扣分的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-20 解-新定义数列
• 2004-全国卷III理-03 单-等差数列的通项公式
• 2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列