2021-天津卷-10 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的概念，以及复数的代数形式及其四则运算。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）10．已知 $\mathrm{i}$ 是虚数单位，复数 $\frac{9+2\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

本题属于复数的除法运算。

处理复数除法 $\frac{z_1}{z_2}$ 的通用策略是**“分母实数化”**：

1. 观察分母为 $2+\mathrm{i}$，其共轭复数为 $2-\mathrm{i}$。

2. 根据分数的基本性质，将分子和分母同时乘以分母的共轭复数 $2-\mathrm{i}$。

3. 利用平方差公式 $(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i})=a^2+b^2$ 处理分母，利用多项式乘法展开分子。

4. 结合 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 合并同类项，最终化简为 $a+b\mathrm{i}$ 的标准形式。

✅【答案】

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$4-\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

将复数除法式子的分子和分母同时乘以分母的共轭复数 $(2-\mathrm{i})$，化简如下：

$\begin{array}{rl}\frac{9+2\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}& =\frac{(9+2\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}\\ & =\frac{18-9\mathrm{i}+4\mathrm{i}-2{\mathrm{i}}^2}{2^2-(\mathrm{i}{)}^2}\end{array}$

因为 ${\mathrm{i}}^2=-1$，代入上式：

$\begin{array}{rl}\text{原式}& =\frac{18-5\mathrm{i}-2(-1)}{4-(-1)}\\ & =\frac{18-5\mathrm{i}+2}{4+1}\\ & =\frac{20-5\mathrm{i}}{5}\\ & =\frac{20}{5}-\frac{5\mathrm{i}}{5}\\ & =4-\mathrm{i}\end{array}$

故答案为：$4-\mathrm{i}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 共轭复数的概念：对于复数 $z=a+b\mathrm{i}$ ($a,b\in \mathbf{R}$)，其共轭复数为 $\bar{z}=a-b\mathrm{i}$。在复平面上，互为共轭的两个复数对应的点关于实轴对称。

2. 共轭乘积的性质：一个复数与它的共轭复数相乘，结果是一个非负实数，即 $z\cdot \bar{z}=(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i})=a^2-b^2{\mathrm{i}}^2=a^2+b^2=|z{|}^2$。这是复数除法“分母实数化”的理论基础。

3. 易错点提示：在展开分子 $(9+2\mathrm{i})(2-\mathrm{i})$ 时，容易在符号上出错，特别是 $-2{\mathrm{i}}^2$ 转化为实数时，务必牢记 ${\mathrm{i}}^2=-1$，所以 $-2{\mathrm{i}}^2=+2$。建议在草稿纸上一步步写出，不要跳步。

📖【试题探源与推广】

Tip

关于复数，高考中常考的还有以下几个维度的基础知识，建议结合本题一并复习：

复数 $z_1=a+b\mathrm{i}$ 与 $z_2=c+d\mathrm{i}$ 相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等，即：

$a+b\mathrm{i}=c+d\mathrm{i}⟺a=c\text{ 且 }b=d(a,b,c,d\in \mathbf{R})$

这常用于解含有未知实数的复数方程。

复数 $z=a+b\mathrm{i}$ 的模长定义为 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，它表示复平面上点 $Z(a,b)$ 到原点的距离。

对于复数的除法，其模满足性质：商的模等于模的商。

以本题为例，我们可以通过模长公式来验算答案是否正确：

• 原式的模：$\left|\frac{9+2\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}\right|=\frac{|9+2\mathrm{i}|}{|2+\mathrm{i}|}=\frac{\sqrt{9^2+2^2}}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{5}}=\sqrt{17}$

• 计算结果的模：$|4-\mathrm{i}|=\sqrt{4^2+(-1{)}^2}=\sqrt{17}$

  两者相等，说明我们的计算大概率是正确的！

$\mathrm{i}$ 的幂具有周期性，周期为 $4$：

• ${\mathrm{i}}^1=\mathrm{i}$

• ${\mathrm{i}}^2=-1$

• ${\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$

• ${\mathrm{i}}^4=1$

  一般规律为 ${\mathrm{i}}^{4n+k}={\mathrm{i}}^k$ ($n\in \mathbf{Z}$)。在处理高次复数运算时，利用此周期性可以快速降次。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2014-江西卷理-01 单-共轭复数