2022-浙江卷-16 填-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左焦点为 $F$，过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4a}$ 的直线交双曲线于点 $A(x_1,y_1)$，交双曲线的渐近线于点 $B(x_2,y_2)$ 且 $x_1<0<x_2$．若 $|FB|=3|FA|$，则双曲线的离心率是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

本题的核心目标是求离心率 $e=\frac{c}{a}$，因此我们需要寻找一个只包含 $a,b,c$ 的齐次等式。

题目给出的核心条件是“过左焦点 $F$ 的直线交双曲线于 $A$，交渐近线于 $B$”以及线段比例关系 $|FB|=3|FA|$。

处理这种线段比例关系，通常有两种高效视角：

1. 几何形数法：向坐标轴作垂线，利用平行线分线段成比例（即相似三角形的性质），将斜线段的比例转化为横、纵坐标的比例。

2. 代数向量法：将线段比例转化为共线向量的数乘关系 $\overrightarrow{FB}=3\overrightarrow{FA}$。先通过直线方程与渐近线方程联立求出点 $B$ 的坐标，再利用向量关系反推出点 $A$ 的坐标，最后将点 $A$ 的坐标代入双曲线方程即可得到 $a,c$ 的关系式。

✅【答案】

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$\frac{3\sqrt{6}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：几何相似法（构造直角三角形与坐标转化）

设左焦点为 $F(-c,0)$。

因为 $B(x_2,y_2)$ 且 $x_2>0$，所以点 $B$ 在第一象限，即位于斜率为正的渐近线 $y=\frac{b}{a}x$ 上。

不妨设 $B\left(m,\frac{b}{a}m\right)$，其中 $m>0$。

分别过点 $A$、$B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $A^{\prime }$、$B^{\prime }$。

设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，由题意知其斜率 $\tan \theta =\frac{b}{4a}$。

在 $\text{Rt}△F{B}^{\prime }B$ 中，$\tan \theta =\frac{|B{B}^{\prime }|}{|F{B}^{\prime }|}=\frac{\frac{b}{a}m}{|F{B}^{\prime }|}=\frac{b}{4a}$，

解得 $|F{B}^{\prime }|=4m$。

此时，原点 $O$ 到 $F$ 的距离 $c=|OF|$，从横坐标看 $x_B-x_F=m-(-c)=m+c=|F{B}^{\prime }|$，即 $m+c=4m$，得出 $c=3m$（即 $m=\frac{c}{3}$）。

已知 $|FB|=3|FA|$，即 $\frac{|FA|}{|FB|}=\frac{1}{3}$。由相似三角形 $△F{A}^{\prime }A\sim △F{B}^{\prime }B$ 可得：

1. 纵坐标比例：$\frac{|A{A}^{\prime }|}{|B{B}^{\prime }|}=\frac{1}{3}⟹|A{A}^{\prime }|=\frac{1}{3}|B{B}^{\prime }|=\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}m\right)=\frac{bm}{3a}$。

   代入 $m=\frac{c}{3}$ 得，点 $A$ 的纵坐标 $y_1=\frac{bc}{9a}$。

2. 横坐标比例：$\frac{|F{A}^{\prime }|}{|F{B}^{\prime }|}=\frac{1}{3}⟹|F{A}^{\prime }|=\frac{1}{3}(4m)=\frac{4m}{3}$。

   点 $A$ 的横坐标 $x_1=-c+|F{A}^{\prime }|=-3m+\frac{4m}{3}=-\frac{5m}{3}$。

   代入 $m=\frac{c}{3}$ 得，$x_1=-\frac{5c}{9}$。

因此，点 $A$ 的坐标为 $\left(-\frac{5c}{9},\frac{bc}{9a}\right)$。

将点 $A$ 坐标代入双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中：

$\frac{{\left(-\frac{5c}{9}\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(\frac{bc}{9a}\right)}^2}{b^2}=1$

化简得：

\frac{25c^2}{81a^2} - \frac{b^2c^2}{81a^2b^2} = 1 \implies \frac{25c^2}{81a^2} - \frac{c^2}{81a^2} = 1$$$$\frac{24c^2}{81a^2} = 1 \implies \frac{c^2}{a^2} = \frac{81}{24} = \frac{27}{8}

所以离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{27}{8}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}$。

解法二：代数向量法（联立直线与渐近线方程）

由题意，双曲线左焦点 $F(-c,0)$，过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4a}$ 的直线方程为：

$y=\frac{b}{4a}(x+c)\text{— (I)}$

由于 $x_2>0$，点 $B$ 在斜率为正的渐近线上，渐近线方程为：

$y=\frac{b}{a}x\text{— (II)}$

联立 (I) 和 (II) 求点 $B$ 的坐标：

$\frac{b}{4a}(x+c)=\frac{b}{a}x⟹x+c=4x⟹3x=c⟹x=\frac{c}{3}$

将 $x=\frac{c}{3}$ 代入 (II) 得 $y=\frac{bc}{3a}$。

所以点 $B$ 的坐标为 $\left(\frac{c}{3},\frac{bc}{3a}\right)$。

结合题意 $x_1<0<x_2$，可知焦点 $F(-c,0)$、点 $A(x_1,y_1)$、点 $B(x_2,y_2)$ 三点共线，且从左到右的横坐标顺序为 $-c<x_1<x_2$。

因此向量 $\overrightarrow{FA}$ 与 $\overrightarrow{FB}$ 方向相同。由 $|FB|=3|FA|$ 可得向量等式：

$\overrightarrow{FB}=3\overrightarrow{FA}$

已知 $F(-c,0)$，则 $\overrightarrow{FB}=\left(\frac{c}{3}+c,\frac{bc}{3a}-0\right)=\left(\frac{4c}{3},\frac{bc}{3a}\right)$。

设 $A(x_1,y_1)$，则 $\overrightarrow{FA}=(x_1+c,y_1)$。

代入向量等式可得：

3(x_1 + c) = \frac{4c}{3} \implies x_1 + c = \frac{4c}{9} \implies x_1 = -\frac{5c}{9}$$$$3y_1 = \frac{bc}{3a} \implies y_1 = \frac{bc}{9a}

所以点 $A$ 的坐标为 $\left(-\frac{5c}{9},\frac{bc}{9a}\right)$。

后续步骤同解法一，将点 $A$ 的坐标代入双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，

求得 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{27}{8}$，解得 $e=\frac{3\sqrt{6}}{4}$。

故答案为：$\frac{3\sqrt{6}}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 考点提炼：双曲线渐近线方程的运用、直线联立求交点、几何性质中的比例线段转化为点坐标（向量法或几何法）、离心率的求解。

• 解题突破口：将 $|FB|=3|FA|$ 这一几何条件“翻译”为代数坐标。因为 $B$ 点在渐近线上，联立方程容易直接求出 $B$ 点坐标，利用共线定比分点性质即可顺势求出 $A$ 点坐标，最后代回母线（双曲线方程）解决问题。

• 易错点提示：

  1. 渐近线选择错误：没有注意到 $x_2>0$ 的隐藏条件，错误地联立了 $y=-\frac{b}{a}x$，导致求出的坐标不符合题意。

  2. 代入化简时粗心：在将 $A\left(-\frac{5c}{9},\frac{bc}{9a}\right)$ 代入双曲线方程时，第二项化简会产生 $\frac{b^2{c}^2}{81a^2{b}^2}$，此时分子分母的 $b^2$ 恰好消去，这是出题人特意设计的“友好”数据。如果计算基本功不扎实，很容易在这里卡壳，觉得未知数太多无法求出 $e$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在处理圆锥曲线中共线三点的线段比例问题时，**“向量化”**是最不容易出错的方法。

例如本题中的 $|FB|=3|FA|$，许多同学如果仅画草图而不严谨判断，可能会对点 $A$、$B$ 是否在 $F$ 的同侧产生疑虑。但只要列出三个点的横坐标关系 $-c<x_1<0<x_2$，就能确信三点的相对位置是 $F-A-B$，从而果断写出 $\overrightarrow{FB}=3\overrightarrow{FA}$（而不带有负号）。

定比分点的向量公式不仅能避免繁琐的相似三角形线段推导，还能自动处理坐标的正负号问题，是解析几何中极具杀伤力的“武器”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2021-天津卷-18 解-椭圆综合
• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率