2021-新高考II卷-10 多-异面直线夹角

本题导读

本题考查正方体的几何性质，以及异面直线所成的角。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）如图，在正方体中，$O$ 为底面的中心，$P$ 为所在棱的中点，$M,N$ 为正方体的顶点．则满足 $MN\perp OP$ 的是（　　）

🔍【思路分析】

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1. 异面直线垂直的判定标准：

• 定义法：将其中一条直线平移至与另一条直线相交，若夹角为 $90^{\circ }$，则垂直。
• 线面垂直性质法：若直线 $MN$ 垂直于包含 $OP$ 的某一个平面，则 $MN\perp OP$。
• 向量法：建立空间直角坐标系，证明 $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{OP}=0$。

2. 逐项几何特征提取：

• 观察 $MN$ 的方向（通常是棱、面对角线或体对角线）。
• 观察 $OP$ 的方向（从底面中心指向侧棱或底棱中点）。
• 利用正方体的对称性，寻找 $MN$ 的平行线。

✅【答案】

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BC

✍【详细解析】

Abstract

设正方体的棱长为 $2$．

1. 判定 A 选项：

如图（1）所示，连接 $AC$．在正方体中，$MN//AC$．

故 $\angle POC$（或其补角）即为异面直线 $OP$ 与 $MN$ 所成的角．

在 $\text{Rt}△OPC$ 中，$OC=\sqrt{2}$，$CP=1$．

$\tan \angle POC=\frac{CP}{OC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ne \tan 90^{\circ }$．

故 $OP$ 与 $MN$ 不垂直，A 错误．

2. 判定 B 选项：

如图（2）所示，取 $NT$ 的中点为 $Q$，连接 $PQ,OQ$．

由对称性易知 $OQ\perp$ 侧面，且 $PQ\perp MN$．

进一步分析可知，$MN\perp$ 平面 $OPQ$．

因为 $OP\subset$ 平面 $OPQ$，根据线面垂直的性质，得 $MN\perp OP$．

故 B 正确．

3. 判定 C 选项：

如图（3）所示，连接 $BD$．由正方体性质可知 $MN//BD$．

观察图形，由于 $O$ 是底面中心，$P$ 是棱中点，通过几何对称性或线面垂直判定（同 B 项逻辑）可以证明 $OP\perp BD$．

因为 $MN//BD$，所以 $MN\perp OP$．

故 C 正确．

4. 判定 D 选项：

如图（4）所示，取相关中点进行计算．

设正方体棱长为 $2$，建立坐标系或进行几何计算：

$PQ=\sqrt{2},OQ=\sqrt{3},PO=\sqrt{5}$．

在 $△PQO$ 中，计算三边满足 $Q{O}^2<P{Q}^2+O{P}^2$．

根据余弦定理可知 $\angle QPO$ 不是直角，即 $PO$ 与 $MN$ 的平行线不垂直．

故 D 错误．

结论：正确选项为 BC．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 线面垂直是核心：在正方体中证明线线垂直，最稳妥的方法是寻找“线面垂直”。即证明一条直线垂直于另一条直线所在的某一个特征截面。
2. 平移法的灵活性：将异面直线 $MN$ 平移到过点 $O$ 或点 $P$ 的位置，观察其在平面几何中的夹角。
3. 坐标向量法（终极武器）：对于多选题，如果几何直观不强，迅速建立坐标系并进行向量点积运算（$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$）是最不容易出错的办法。
4. 避坑指南：

• 投影陷阱：直线 $a$ 垂直于直线 $b$ 在平面 $\alpha$ 上的投影，并不代表 $a\perp b$。
• 视觉误导：正方体的透视图常会产生视觉上的“垂直假象”，必须通过逻辑推导确认。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：利用三垂线定理。若 $OP$ 在底面上的射影 $OQ\perp MN$，且 $MN\perp$ （$OP$ 与 $OQ$ 确定的平面）中的高线，则 $MN\perp OP$。
• 变式思考：如果点 $P$ 是对应棱上的动点，是否存在某个位置使得 $MN\perp OP$？这通常涉及到求轨迹或特定比例的问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷理-18
• 2010-天津卷文-19 解-异面直线角与二面角
• 2011-北京卷理-16