2021-新高考II卷-15 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积定义与运算律，以及平面向量模的性质。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）已知向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=|\vec{c}|=2$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a}=\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 识别结构：待求式 $\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a}$ 是三项式完全平方展开式中的“交叉项”部分。
2. 建立联系：利用向量恒等式 $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{)}^2={\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2+{\vec{c}}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})$。
3. 代值求解：由 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ 可知其模的平方也为 0。代入已知的模长 $|\vec{a}|,|\vec{b}|,|\vec{c}|$，解方程即可得出目标值。

✅【答案】

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$-\frac{9}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用向量和的平方性质 因为 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$， 所以对其两边平方（即取模的平方）得： $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{)}^2={\vec{0}}^2=0$

第二步：展开多项式 根据向量数量积的分配律与性质展开上式： ${\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2+{\vec{c}}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})=0$ 利用 $|\vec{v}{|}^2={\vec{v}}^2$，上式可写为： $|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})=0$

第三步：代入已知数据 已知 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,|\vec{c}|=2$，代入上式得： $1^2+2^2+2^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})=0$ $1+4+4+2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})=0$ $9+2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})=0$

第四步：解得目标值 $2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})=-9$ $\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a}=-\frac{9}{2}$

故答案为：$-\frac{9}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心技巧——整体平方化：这是处理向量线性组合与模长、数量积关系的最常用方法。凡是出现 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ 且涉及两两乘积的题目，平方几乎是唯一突破口。
2. 几何意义：从几何上看，$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ 意味着这三个向量首尾相接构成一个封闭三角形。本题对应的三角形边长分别为 1, 2, 2（等腰三角形）。
3. 避坑指南：

• 系数 2 的遗漏：展开完全平方式时，交叉项前的系数 2 极易被忽略。
• 平方计算：注意 $|\vec{b}|=2⟹|\vec{b}{|}^2=4$，不要误写成 2。
• 正负号：由于模长平方和必为正，移项后数量积之和通常为负数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题若改为求 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的值，该如何处理？ (提示：将已知条件变形为 $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$，再次两边平方即可：$|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{c}{|}^2$。)
• 能力提升：对于 $n$ 个向量满足 $\sum {\vec{a}}_i=\vec{0}$ 且模长相等的情形，两两数量积之和有固定规律。尝试推导其通项公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算