2021-浙江卷-14 填-解三角形

本题导读

本题考查解三角形，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）14. 在 $△ABC$ 中，$\angle B=60^{\circ },AB=2$，$M$ 是 $BC$ 的中点，$AM=2\sqrt{3}$，则 $AC=$ $\underline{}$，\cos \angle MAC =$$\underline{\quad\quad\quad}.

🔍【思路分析】

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本题解题思路清晰，分为三个层次：

1. 求 $BC$ 长： 在 $△ABM$ 中，已知两边（$AB,AM$）及其中一边的对角（$\angle B$），利用余弦定理建立关于 $BM$ 的一元二次方程，从而求得 $BC$。
2. 求 $AC$ 长： 在 $△ABC$ 中，已知两边（$AB,BC$）及其夹角（$\angle B$），再次利用余弦定理求出第三边 $AC$。
3. 求角余弦： 在 $△AMC$ 中，三边（$AM,MC,AC$）均已已知，利用余弦定理的推论求出 $\cos \angle MAC$。

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $BM$ 与 $BC$ 在 $△ABM$ 中，由余弦定理： $A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2AB\cdot BM\cdot \cos B$ 代入数据： $12=4+B{M}^2-2\times 2\times BM\times \cos 60^{\circ }$ $12=4+B{M}^2-2BM⟹B{M}^2-2BM-8=0$ 解方程得 $(BM-4)(BM+2)=0$，因为 $BM>0$，故 $BM=4$。 由于 $M$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BC=2BM=8$，$MC=4$。

第二步：求 $AC$ 在 $△ABC$ 中，由余弦定理： $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cdot \cos B$ $A{C}^2=4+64-2\times 2\times 8\times \frac{1}{2}=52$ 故 $AC=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。

第三步：求 $\cos \angle MAC$ 在 $△AMC$ 中，已知 $AM=2\sqrt{3}$，$MC=4$，$AC=2\sqrt{13}$。 由余弦定理推论： $\cos \angle MAC=\frac{A{M}^2+A{C}^2-M{C}^2}{2AM\cdot AC}$ $\cos \angle MAC=\frac{12+52-16}{2\times 2\sqrt{3}\times 2\sqrt{13}}=\frac{48}{8\sqrt{39}}=\frac{6}{\sqrt{39}}=\frac{6\sqrt{39}}{39}=\frac{2\sqrt{39}}{13}$

✅【答案】

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$2\sqrt{13}$ ； $\frac{2\sqrt{39}}{13}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 方程思想的应用： 在解三角形时，如果已知角不是两已知边的夹角，通常使用余弦定理列出方程求出未知边，而不是盲目使用正弦定理。
• 计算细节： 涉及到根号的化简（如 $\sqrt{52}=2\sqrt{13}$）和分母有理化是填空题致胜的关键，浙江卷计算量通常不小，需保持耐心。

遇到涉及三角形中线（如本题中的 $AM$）的问题，可以从以下三个维度思考：

1. 几何法（余弦定理）： 如本题，分别在局部三角形和整体三角形中两次使用余弦定理。或者利用互补角性质：$\cos \angle AMB+\cos \angle AMC=0$。

2. 向量法（极化恒等式）： 若 $M$ 是 $BC$ 的中点，则 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$。 两边平方可得中线长公式：$A{B}^2+A{C}^2=2(A{M}^2+B{M}^2)$。 在本题中：$2^2+A{C}^2=2((2\sqrt{3}{)}^2+4^2)⟹4+A{C}^2=2(12+16)⟹A{C}^2=52$。可以发现，利用此公式求边长比余弦定理快得多。

3. 坐标法： 以 $M$ 为原点，$BC$ 所在的直线为 $x$ 轴建立坐标系。这种方法在处理动点或较复杂的向量投影问题时非常有效。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

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