2021-甲卷文-08 单-解三角形

本题导读

本题考查解三角形，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷文）在 $△ABC$ 中，已知 $B=120^{\circ }$, $AC=\sqrt{19}$, $AB=2$, 则 $BC=$ ( ) A. 1　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 设 $BC=a$，已知角 $B$ 及其夹边 $AB=c=2$，对边 $AC=b=\sqrt{19}$。
2. 直接代入余弦定理公式列方程求解未知边 $a$。

✅【答案】

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$a=3$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 得： $(\sqrt{19}{)}^2=a^2+2^2-2\cdot a\cdot 2\cdot \cos 120^{\circ }$ $19=a^2+4-4a\left(-\frac{1}{2}\right)$ $19=a^2+4+2a$ 化简得：$a^2+2a-15=0$ 因式分解得：$(a+5)(a-3)=0$ 因为边长 $a>0$，所以 $a=3$。 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理的应用。
2. 核心方法：通过设未知边列出一元二次方程求解。
3. 避坑指南：注意特殊角的三角函数值（如 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$）的正负号，且解出方程后需根据边长为正进行舍根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解三角形中的经典考法，重点考查边角关系转化。
2. 结论推广：已知两边及一夹角求第三边时，余弦定理是最直接、高效的工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

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• 2024-甲卷理-11 单-解三角形
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