2021-甲卷理-09 单-三角求值

本题导读

本题考查二倍角公式，以及同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）若 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$\tan 2\alpha =\frac{\cos \alpha }{2-\sin \alpha }$，则 $\tan \alpha =($　　$)$

A. $\frac{\sqrt{15}}{15}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{3}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{15}}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 切化弦并展开：观察等式右边全为正弦和余弦，故将左边的 $\tan 2\alpha$ 化为 $\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }$，进而利用二倍角公式展开为只含 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的式子。

2. 约分化简：由于 $\alpha$ 在第一象限，$\cos \alpha \ne 0$，可以在等式两边同时约去 $\cos \alpha$，得到只关于 $\sin \alpha$ 的一元二次方程。

3. 解方程求值：解出 $\sin \alpha$ 的值，利用平方关系求出 $\cos \alpha$，最后根据商数关系 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 得出结果。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 利用“切化弦”与“二倍角公式”展开方程：

已知等式为 $\tan 2\alpha =\frac{\cos \alpha }{2-\sin \alpha }$．

将左侧的 $\tan 2\alpha$ 展开：

$\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{\cos \alpha }{2-\sin \alpha }$

应用正弦和余弦的二倍角公式（$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$，$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$）：

$\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{1-2{\sin }^2\alpha }=\frac{\cos \alpha }{2-\sin \alpha }$

2. 约分并求解 $\sin \alpha$：

因为 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\cos \alpha >0$，即 $\cos \alpha \ne 0$．

等式两边同时约去 $\cos \alpha$，得：

$\frac{2\sin \alpha }{1-2{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{2-\sin \alpha }$

交叉相乘，化简方程：

2\sin \alpha (2 - \sin \alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha$$$$4\sin \alpha - 2\sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha

等式两边的 $-2{\sin }^2\alpha$ 相互抵消，得：

$4\sin \alpha =1⟹\sin \alpha =\frac{1}{4}$

3. 求解 $\cos \alpha$ 与 $\tan \alpha$：

因为 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\cos \alpha >0$．

$\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$

进而求出 $\tan \alpha$：

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{15}}$

分母有理化：

$\tan \alpha =\frac{\sqrt{15}}{15}$

4. 结论：

对应选项 A 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. “切化弦”策略：当等式中同时出现 $\tan$ 以及 $\sin ,\cos$ 的分式时，把 $\tan$ 统一转化为 $\frac{\sin }{\cos }$ 是化简的不二法门。

  2. 二倍角余弦公式的选择：$\cos 2\alpha$ 有三种形式，本题中为了与等式右侧的 $\sin \alpha$ 统一变量，果断选择 $1-2{\sin }^2\alpha$。

• 规律总结：三角函数条件等式的求值问题，最终通常都会转化为解关于某一个三角函数（如 $\sin \alpha$ 或 $\tan \alpha$）的代数方程。

• 避坑指南：在约去 $\cos \alpha$ 时，严谨的步骤是先说明 $\cos \alpha \ne 0$（由 $\alpha \in (0,\pi /2)$ 保证）。虽然选择题不写这一步也能得分，但养成习惯能避免在解答题中被扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷文-09 单-同角关系与二倍角
• 2012-福建卷文-20 解-三角恒等式归纳证明
• 2014-新课标I卷文-02 单-三角函数符号