2012-福建卷文-20 解-三角恒等式归纳证明

本题导读

本题考查同角三角函数关系。核心在于公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

① ${\sin }^{2}13^{\circ }+{\cos }^{2}17^{\circ }-\sin 13^{\circ }\cos 17^{\circ }$；

② ${\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }-\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }$；

③ ${\sin }^{2}18^{\circ }+{\cos }^{2}12^{\circ }-\sin 18^{\circ }\cos 12^{\circ }$；

④ ${\sin }^2(-18^{\circ })+{\cos }^{2}48^{\circ }-\sin (-18^{\circ })\cos 48^{\circ }$；

⑤ ${\sin }^2(-25^{\circ })+{\cos }^{2}55^{\circ }-\sin (-25^{\circ })\cos 55^{\circ }$.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）取②式：${\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }-\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=1-\frac{1}{2}\sin 30^{\circ }=\frac{3}{4}$；（2）推广为 $\alpha +\beta =30^{\circ }$ 时 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\beta -\sin \alpha \cos \beta =\frac{3}{4}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1)常数为 $\frac{3}{4}$；(2)恒等式：对满足 $\alpha +\beta =30^{\circ }$ 的任意角 $\alpha$，$\beta$，都有 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\beta -\sin \alpha \cos \beta =\frac{3}{4}$，证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）选择②式（两角相同，直接用二倍角公式）：

${\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }-\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=1-\frac{1}{2}\sin 30^{\circ }=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。

（2）观察五个式子中出现的两个角（如 $13^{\circ }$ 与 $17^{\circ }$、$-18^{\circ }$ 与 $48^{\circ }$），其和均为 $30^{\circ }$。推广为：

对满足 $\alpha +\beta =30^{\circ }$ 的任意角 $\alpha$，$\beta$，都有 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\beta -\sin \alpha \cos \beta =\frac{3}{4}$。

证明：由 $\beta =30^{\circ }-\alpha$，得

$\cos \beta =\cos (30^{\circ }-\alpha )=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha +\frac{1}{2}\sin \alpha$。

于是 ${\cos }^2\beta =\frac{3}{4}{\cos }^2\alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha \cos \alpha +\frac{1}{4}{\sin }^2\alpha$，

$\sin \alpha \cos \beta =\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha \cos \alpha +\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha$。

故 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\beta -\sin \alpha \cos \beta ={\sin }^2\alpha +\frac{3}{4}{\cos }^2\alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha \cos \alpha +\frac{1}{4}{\sin }^2\alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha \cos \alpha -\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha$

$=\left(1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right){\sin }^2\alpha +\frac{3}{4}{\cos }^2\alpha =\frac{3}{4}({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角平方关系；二倍角（降幂）公式；差角公式；由特殊到一般的归纳推广

核心方法：选”同角”式子最快求出常数；从五个式子中提取公共结构（两角之和为 $30^{\circ }$）作推广，再用差角公式展开验证

避坑指南：归纳推广的关键是找共同规律（本题是 $\alpha +\beta =30^{\circ }$），推广后必须对一般情形严格证明；展开中 $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha \cos \alpha$ 两项恰好相消，算错符号就推不出常数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等式的归纳探究题，与 2013 年北京卷文第 15 题、2013 年四川卷文第 14 题同族。

结论推广：${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\beta -\sin \alpha \cos \beta$ 仅依赖 $\alpha +\beta$：$\alpha +\beta =\theta$ 时该式 $=1-\frac{1}{2}\sin \theta$。

方法推广：“找规律—提猜想—证一般”的探究三步曲；选择最特殊的例子（同角）求常数是降低计算量的关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-15 解-三角恒等变换求角
• 2013-四川卷文-14 填-二倍角求值
• 2013-陕西卷文-13 填-归纳推理等式