2022-上海卷-12 填-抽象函数值域

本题导读

本题考查抽象函数，以及函数的值域与最值。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 设函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f\left(\frac{1}{x+1}\right)$，定义域为 $D=[0,+\infty )$，值域为 $A$。若集合 $\{y\mid y=f(x),x\in [0,a]\}$ 可取得 $A$ 中所有值，则参数 $a$ 的取值范围为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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本题的核心在于理解等式 $f(x)=f\left(\frac{1}{x+1}\right)$ 的内涵。我们可以令内部迭代函数 $g(x)=\frac{1}{x+1}$。题意即为 $f(x)=f(g(x))$，这意味着自变量 $x$ 对应的函数值，与它经过 $g(x)$ 映射后对应位置的函数值相同。

要让区间 $[0,a]$ 能够覆盖函数 $f(x)$ 在整个定义域 $[0,+\infty )$ 上的所有可能取值（即值域 $A$），我们需要找到迭代函数 $g(x)$ 的不动点（即满足 $g(x)=x$ 的点）。

通过分析 $g(x)$ 将大于不动点的区间映射到小于不动点的区间，可以证明只要区间包含了不动点及其左侧，就能通过迭代关系覆盖整个定义域的函数值。

✅【答案】

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$\left[\frac{\sqrt{5}-1}{2},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

令内部的迭代函数为 $g(x)=\frac{1}{x+1}$。已知条件转化为：对于任意 $x\in [0,+\infty )$，都有 $f(x)=f(g(x))$。

显然 $g(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递减。

第一步：寻找不动点

令 $x=g(x)$，即 $x=\frac{1}{x+1}$。

整理得 $x^2+x-1=0$。

解此二次方程得：$x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$。

因为定义域 $x\ge 0$，所以舍去负根，得到唯一的不动点 $x_0=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

第二步：证明充分性（当 $a\ge x_0$ 时，区间 $[0,a]$ 足够覆盖值域）

我们来观察以 $x_0$ 为分界线，$g(x)$ 对区间的映射情况：

1. 当 $x\ge x_0$ 时，因为 $g(x)$ 单调递减，所以 $g(x)\le g(x_0)=x_0$。又因为 $x\ge 0$，所以 $g(x)>0$。

   即：所有属于 $[x_0,+\infty )$ 的 $x$，经过 $g(x)$ 映射后，其值 $\frac{1}{x+1}$ 都落在了区间 $(0,x_0]$ 内。

2. 根据题意 $f(x)=f(g(x))$，这说明对于任意 $x\ge x_0$，$f(x)$ 的值都等于某个位于 $(0,x_0]$ 内的点的函数值。

3. 因此，函数在整个定义域 $[0,+\infty )$ 上的值域 $A$，完全等同于它在子区间 $[0,x_0]$ 上的值域。

   只要 $a\ge \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，区间 $[0,a]$ 就必定包含 $[0,x_0]$，从而能够取得 $A$ 中的所有值。

第三步：证明必要性（当 $a<x_0$ 时，区间 $[0,a]$ 无法保证覆盖所有值）

假设 $a<x_0$，即区间为 $[0,a]$ 且没有包含不动点 $x_0$。

因为 $x_0$ 是不动点，其迭代序列永远停留在 $x_0$（即 $x_0\to x_0\to x_0\dots$）。

对于任意起始于 $[0,a]$ 的点 $x$，其通过 $g(x)$ 或 $g^{-1}(x)$ 构成的迭代轨道，无论怎么跳跃，都永远不可能等于 $x_0$（因为除了 $x_0$ 本身，没有其他点可以通过有限次迭代精确到达 $x_0$）。

由于题目要求对“满足条件的所有抽象函数 $f(x)$”都成立，我们可以构造一个极端的反例：

令 $f(x_0)=1$，且对于所有不在 $x_0$ 迭代轨道上的 $x$，令 $f(x)=0$。这个构造是满足 $f(x)=f(g(x))$ 的。

此时，值域 $A=\{0,1\}$。

但在区间 $[0,a]$ ($a<x_0$) 中，没有任何一点能取到 $x_0$，所以在这个区间上 $f(x)$ 只能取到 $0$。

集合 $\{y\mid y=f(x),x\in [0,a]\}=\{0\}\ne A$。

这就证明了 $a$ 必须大于或等于 $x_0$。

综上所述，参数 $a$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

故参数 $a$ 的取值范围为 $\left[\frac{\sqrt{5}-1}{2},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心规律/公式：

  1. 函数方程与轨道：方程 $f(x)=f(g(x))$ 意味着在 $g(x)$ 迭代轨道（$x,g(x),g(g(x))\dots$）上的所有点，其对应的 $f$ 函数值都相等。

  2. 不动点（Fixed Point）：令 $g(x)=x$ 求出的点。不动点的轨道只有它自身。在覆盖性问题中，不动点往往是不可逾越的“孤岛”，必须被显式地包含在定义域区间内。

• 解题技巧：遇到类似 $f(x)=f(h(x))$ 且求区间覆盖问题时，第一步永远是去求解 $h(x)=x$ 的不动点。不动点往往就是区间的临界端点。

• 试题评价：本题考查了抽象函数的性质及集合的严密逻辑，属于对数学素养要求较高的一道题。利用“不动点”视角能够瞬间看透这道题的本质，将其从繁琐的代数讨论简化成清晰的映射分析。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 2013-山东卷理-16 填-分段函数
• 2013-江西卷理-02 单-函数定义域