2022-上海卷-13 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的表示方法，以及集合的基本运算。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 若集合 $A=[-1,2)$，$B=\mathbf{Z}$，则 $A\cap B=$ ()

A. $\{-2,-1,0,1\}$　　　　B. $\{-1,0,1\}$　　　　C. $\{-1,0\}$　　　　D. $\{-1\}$

🔍【思路分析】

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本题考查的是集合的交集运算（$\cap$）。

解决这类问题的关键是“翻译符号”：

1. 翻译集合 $A$：$A=[-1,2)$ 是一个“左闭右开”区间，表示所有大于等于 $-1$ 且严格小于 $2$ 的实数，即 $A=\{x\mid -1⩽x<2\}$。

2. 翻译集合 $B$：$B=\mathbf{Z}$，其中 $\mathbf{Z}$ 是数学中规定的整数集（包含正整数、负整数和 $0$）。

3. 翻译运算 $A\cap B$：交集表示“既属于 $A$ 又属于 $B$ 的元素”。结合前两步，本题的本质就是求区间 $[-1,2)$ 内包含的所有整数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：明确集合 $A$ 的范围及边界

集合 $A=[-1,2)$ 转化为不等式表示为：$-1⩽x<2$。

特别注意边界：$-1$ 处是中括号 [，表示包含 $-1$；$2$ 处是小括号 )，表示不包含 $2$。

第二步：明确集合 $B$ 的元素特征

集合 $B=\mathbf{Z}$，即 $B=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$。

第三步：求交集

求 $A\cap B$，即寻找满足 $-1⩽x<2$ 的整数 $x$。

在数轴上观察，满足条件的整数有：

• $x=-1$ （包含，因为是 $⩽$）

• $x=0$

• $x=1$

• $x=2$ （不包含，因为是 $<2$，这是最容易出错的陷阱点）

因此，既在区间 $[-1,2)$ 内又是整数的元素只有 $-1,0,1$。

故 $A\cap B=\{-1,0,1\}$。

观察选项，与 B 选项完全一致。

故选：B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心规律/公式：

  1. 常用数集符号牢记：

     • $\mathbf{N}$：自然数集（非负整数集，包含 $0,1,2\dots$）

     • ${\mathbf{N}}^{\ast }$ 或 ${\mathbf{N}}_{+}$：正整数集（不含 $0$）

     • $\mathbf{Z}$：整数集（包含正负整数和 $0$）

     • $\mathbf{Q}$：有理数集

     • $\mathbf{R}$：实数集

  2. 区间符号的含义：[ 或 ] 代表端点值能取到（实心点，$⩽$ 或 $⩾$）；( 或 ) 代表端点值取不到（空心点，$<$ 或 $>$）。

• 防错提醒：做此类题目时，极其容易因为粗心把开区间当成闭区间，从而错选包含端点 $2$ 的选项（虽然本题选项没有设置这个强干扰项，但平时练习中常有）。建议在草稿纸上画一个简易数轴，将 $-1$ 画实心点，$2$ 画空心点，中间的整数一目了然，可实现 $100\%$ 的正确率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-06 单-充分条件、必要条件、充要条件
• 2014-福建卷理-15 填-逻辑推理
• 2013-北京卷理-01 单-集合交集