2022-上海卷-14 单-基本不等式

本题导读

本题考查基本不等式，以及判断等号成立的条件。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 若实数 $a,b$ 满足 $a>b>0$，下列不等式中恒成立的是 ()

A. $a+b>2\sqrt{ab}$　B. $a+b<2\sqrt{ab}$　C. $\frac{a}{2}+2b>2\sqrt{ab}$　D. $\frac{a}{2}+2b<2\sqrt{ab}$

🔍【思路分析】

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本题考查的是基本不等式（均值不等式）：对于任意正实数 $x,y>0$，都有 $x+y⩾2\sqrt{xy}$，当且仅当 $x=y$ 时等号成立。

题目的题眼在于：

1. 前提条件：$a>b>0$。这意味着 $a$ 和 $b$ 都是正数，满足使用基本不等式的前提（“一正”）；同时 $a\ne b$。

2. 设问关键：“恒成立”。选项中给出的都是严格不等号（$>$ 或 $<$），这意味着如果某个选项在某种情况下能取到等号（$=$），那么它带有严格大于/小于号的结论就不是恒成立的。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

已知条件为 $a>b>0$。

步骤一：分析选项 A 和 B

根据基本不等式，由于 $a>0,b>0$，必然有：

$a+b⩾2\sqrt{ab}$

等号成立的条件是：当且仅当 $a=b$。

但是，题目已知条件明确给出 $a>b$，即 $a\ne b$。

这意味着等号永远不可能成立。

因此，不等式退化为严格不等式：

$a+b>2\sqrt{ab}$

此结论在 $a>b>0$ 条件下永远正确（恒成立）。

故 A 正确，B 错误。

步骤二：分析选项 C 和 D （易错点）

将基本不等式应用于正数 $\frac{a}{2}$ 和 $2b$，必然有：

$\frac{a}{2}+2b⩾2\sqrt{\frac{a}{2}\cdot 2b}=2\sqrt{ab}$

所以 D 选项（$<$）显然错误。

现在关键来看 C 选项：$\frac{a}{2}+2b>2\sqrt{ab}$ 是否恒成立？

上述不等式取等号的条件是：当且仅当 $\frac{a}{2}=2b$，即 $a=4b$ 时。

我们回头看题目条件 $a>b>0$。$a=4b$ 是否符合这个大前提？

显然，当 $b=1,a=4$ 时，满足 $a>b>0$，此时 $\frac{a}{2}+2b=2\sqrt{ab}=4$。

既然在 $a=4,b=1$ 时两边相等，那么“$\frac{a}{2}+2b>2\sqrt{ab}$”这个严格大于的结论就不是永远成立的（它有反例）。

故 C 错误。

综上所述，唯一恒成立的选项是 A。

故选：A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心口诀：应用基本不等式求最值或判断恒成立时的三步曲——“一正、二定、三相等”。

  1. 一正：各项必须为正数（本题 $a>b>0$ 已满足）。

  2. 二定：和为定值求积的最大值，积为定值求和的最小值。

  3. 三相等：必须验证等号能否取得！这是本题的核心考点。

• 防错提醒：

  做此类“恒成立”的选择题，看到严格不等号（$>$ 或 $<$）时，第一反应就要去找能不能取等号。

  • 对于 $a+b⩾2\sqrt{ab}$，取等条件 $a=b$ 与题干 $a>b$ 矛盾，所以等号取不到，严格 $>$ 恒成立。

  • 对于 $\frac{a}{2}+2b⩾2\sqrt{ab}$，取等条件 $a=4b$ 与题干 $a>b>0$ 相容（例如 $a=4,b=1$），所以等号是可以取到的，严格 $>$ 不恒成立。

• 备用快速求解法（特值法）：

  遇到这种题，如果考场上大脑短路，可以直接代入特殊值：

  令 $a=4,b=1$（满足 $a>b>0$）。

  代入各选项计算：

  A: $4+1>2\sqrt{4}$ $\Rightarrow$ $5>4$ (成立)

  C: $\frac{4}{2}+2(1)>2\sqrt{4}$ $\Rightarrow$ $4>4$ (不成立，假命题)

  瞬间排除 C 和 D，锁定 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2013-天津卷理-14 填-利用基本不等式求最值
• 2013-山东卷理-12 单-基本不等式求最值