2022-乙卷理-02 单-复数相等

本题导读

本题考查共轭复数，以及复数相等的充要条件。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 已知 $z=1-2\text{i}$，且 $z+a\bar{z}+b=0$，其中 $a,b$ 为实数，则()

A. $a=1,b=-2$　　　　　　　　　　　　　　B. $a=-1,b=2$

C. $a=1,b=2$　　　　　　　　　　　　　　D. $a=-1,b=-2$

🔍【思路分析】

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1. 明确共轭复数：根据已知复数 $z$，利用实部不变、虚部反号的规则写出其共轭复数 $\bar{z}$。

2. 代入方程并化简：将 $z$ 和 $\bar{z}$ 代入已知方程 $z+a\bar{z}+b=0$ 中，展开后按照实部和虚部进行合并与重新整理。

3. 利用复数相等列方程：根据复数相等的充要条件（若一个复数等于 0，则其实部和虚部必须同时等于 0），列出关于参数 $a$ 和 $b$ 的二元一次方程组，求解即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定共轭复数：

因为已知复数 $z=1-2\text{i}$，

根据共轭复数的定义，其共轭复数 $\bar{z}$ 为：

$\bar{z}=1+2\text{i}$

2. 代入方程并分离实虚部：

已知方程为 $z+a\bar{z}+b=0$。将 $z$ 与 $\bar{z}$ 代入：

$(1-2\text{i})+a(1+2\text{i})+b=0$

展开括号：

$1-2\text{i}+a+2a\text{i}+b=0$

提取实部和含有虚数单位 $\text{i}$ 的部分进行合并重组：

$(1+a+b)+(2a-2)\text{i}=0$

3. 建立并求解方程组：

因为 $a,b$ 均为实数，所以 $(1+a+b)$ 为实部，$(2a-2)$ 为虚部。

根据复数相等的充要条件，复数为 $0$ 等价于实部和虚部同时为 $0$：

$\{\begin{array}{l}1+a+b=0\\ 2a-2=0\end{array}$

由第二个方程解得：

$2a=2⟹a=1$

将 $a=1$ 代入第一个方程：

$1+1+b=0⟹b=-2$

4. 结论：

故 $a=1,b=-2$。

对应选项 A 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：处理含复数的等式求解问题，**“实虚部分离法”**是唯一且最高效的标准解法。即将等式一侧完全整理为 $A+B\text{i}$ 的标准形式，若其等于 $0$（即 $0+0\text{i}$），则必有 $A=0$ 且 $B=0$。

• 规律总结：高考复数题前三题中，最常考的就是“四则运算+共轭复数+复数相等”的组合套路。只要看到未知数是实数且包含在一个复数等式中，立刻联想方程组。

• 避坑指南：代入整理实部和虚部时，需特别注意括号外的系数 $a$ 是否正确分配到了实部和虚部中（如本题中乘开后是 $a$ 和 $2a\text{i}$），切忌漏乘导致虚部系数出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2014-江西卷理-01 单-共轭复数