2022-乙卷理-06 单-程序框图

本题导读

本题考查程序模拟，以及循环终止条件。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 执行如图的程序框图，输出的 $n=($\quad\quad$)$

A. $3$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确初始状态：根据一般程序框图的运行逻辑（参考解析逆推），初始值为 $a=1,b=1,n=1$。

2. 提取循环逻辑：每次循环体内变量的更新规律为计算新的 $b,a,n$，其背后的递推关系为 $b_{\text{新}}=b_{\text{旧}}+2a_{\text{旧}}$，$a_{\text{新}}=b_{\text{新}}-a_{\text{旧}}$，$n_{\text{新}}=n_{\text{旧}}+1$。

3. 确定跳出条件：判断表达式 $\left|\frac{b^2}{a^2}-2\right|<0.01$ 是否成立。若不成立，则继续循环；若成立，则跳出循环并输出此时的 $n$。

4. 列表模拟：通过列出每一次循环后变量 $a,b,n$ 的值以及判断条件的计算结果，直到满足跳出条件为止。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 初始状态：

输入初始值：$a=1$，$b=1$，$n=1$．

2. 逐步模拟运行过程：

• 第 1 次循环：

  计算更新变量：

  $b=1+2\times 1=3$；

  $a=3-1=2$；

  $n=1+1=2$．

  执行判断框条件：

  $\left|\frac{b^2}{a^2}-2\right|=\left|\frac{3^2}{2^2}-2\right|=\left|\frac{9}{4}-2\right|=\frac{1}{4}=0.25$．

  因为 $0.25⩾0.01$，不满足退出条件，继续循环．

• 第 2 次循环：

  计算更新变量：

  $b=3+2\times 2=7$；

  $a=7-2=5$；

  $n=2+1=3$．

  执行判断框条件：

  $\left|\frac{b^2}{a^2}-2\right|=\left|\frac{7^2}{5^2}-2\right|=\left|\frac{49}{25}-2\right|=\frac{-1}{25}\text{ 的绝对值}=\frac{1}{25}=0.04$．

  因为 $0.04⩾0.01$，不满足退出条件，继续循环．

• 第 3 次循环：

  计算更新变量：

  $b=7+2\times 5=17$；

  $a=17-5=12$；

  $n=3+1=4$．

  执行判断框条件：

  $\left|\frac{b^2}{a^2}-2\right|=\left|\frac{17^2}{12^2}-2\right|=\left|\frac{289}{144}-\frac{288}{144}\right|=\frac{1}{144}$．

  计算可知 $\frac{1}{144}\approx 0.0069$．

  因为 $0.0069<0.01$，满足退出条件！

3. 结束循环并输出：

跳出循环，输出当前的 $n$ 值：$n=4$．

结论：

对应选项 B 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：解答程序框图问题最忌讳心算，**“列表跟踪法”**是唯一的标准解法。列出 [循环次数 | 各变量的新值 | 判断条件是否成立] 的表格，能最大程度避免逻辑断层。

• 数学文化（背景拓展）：本题算法的本质是求 $\sqrt{2}$ 的有理数逼近。序列 $\frac{b}{a}$ 的取值依次为 $\frac{1}{1},\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12}\dots$，它们恰好是 $\sqrt{2}$ 连分数展开的渐近分数，其平方极快地逼近于 2。

• 避坑指南：

  • 循环控制变量的增量时机：注意 $n$ 的更新（如 $n=n+1$）是在条件判断之前还是之后。如果在判断之后，输出的 $n$ 值往往会相差 1。本题根据解析逆推，变量更新与判断是在同一个完整执行块中进行的。

  • 分数大小估算：在最后一步 $\frac{1}{144}$ 与 $0.01$（即 $\frac{1}{100}$）的比较中，分母越大分数值越小，故 $\frac{1}{144}<\frac{1}{100}$，切勿在最后比较环节因粗心失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-06 单-程序框图判断
• 2009-山东卷文-15 填-程序框图