2022-北京卷-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的乘除，以及复数的模。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 若复数 $z$ 满足 $\mathrm{i}\cdot z=3-4\mathrm{i}$，则 $|z|=$ ()

A. 1　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 7　　　　　　　D. 25

🔍【思路分析】

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1. 识别已知条件：给定了关于复数 $z$ 的等式 $\mathrm{i}\cdot z=3-4\mathrm{i}$，要求求解 $z$ 的模长 $|z|$。

2. 选择解题策略：

   • 策略一（推荐，更快捷）：直接利用复数模的性质“积的模等于模的积”或“商的模等于模的商”来求解，无需算出 $z$ 的具体代数形式。

   • 策略二：先通过复数的除法运算求出复数 $z$ 的标准形式 $a+b\mathrm{i}$，然后再利用模长公式 $|a+b\mathrm{i}|=\sqrt{a^2+b^2}$ 求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：利用复数模的性质（最简捷）

1. 已知等式：$\mathrm{i}\cdot z=3-4\mathrm{i}$。

2. 将等式转化为商的形式：$z=\frac{3-4\mathrm{i}}{\mathrm{i}}$。

3. 两边同时取模，利用商的模等于模的商的性质 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$：

   $|z|=\left|\frac{3-4\mathrm{i}}{\mathrm{i}}\right|=\frac{|3-4\mathrm{i}|}{|\mathrm{i}|}$

4. 分别计算分子和分母的模：

   • 分子：$|3-4\mathrm{i}|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。

   • 分母：$|\mathrm{i}|=\sqrt{0^2+1^2}=1$。

5. 代入计算得出：$|z|=\frac{5}{1}=5$。

或者利用积的模长性质：$|\mathrm{i}\cdot z|=|3-4\mathrm{i}|⟹|\mathrm{i}|\cdot |z|=5⟹1\cdot |z|=5⟹|z|=5$。

方法二：代数计算求出 $z$（常规思路）

1. 已知等式：$\mathrm{i}\cdot z=3-4\mathrm{i}$。

2. 等式两边同乘 $-\mathrm{i}$（或者直接做除法）：

   -\mathrm{i} \cdot (\mathrm{i} \cdot z) = -\mathrm{i} \cdot (3 - 4\mathrm{i})$$$$-(\mathrm{i}^2) \cdot z = -3\mathrm{i} + 4\mathrm{i}^2

3. 代入 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 化简：

   -(-1) \cdot z = -3\mathrm{i} + 4(-1)$$$$z = -4 - 3\mathrm{i}

4. 计算 $z$ 的模长：

   $|z|=\sqrt{(-4{)}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

   。

结论：对应选项 B 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心概念：对于复数 $z=a+b\mathrm{i}(a,b\in \mathbb{R})$，其模长 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。注意虚部是 $b$ 而不是 $b\mathrm{i}$，计算模长时不要把 $\mathrm{i}$ 带入平方中。

2. 运算技巧：熟练掌握复数模的性质可以大大简化计算过程，减少出错概率：

   • $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$

   • $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}(z_2\ne 0)$

   • $|z^n|=|z{|}^n$

3. 试题评价：本题主要考查复数的基本运算和复数模的求法，考查了化归与转化的数学思想，属于非常典型的高考必考基础题，要求能够做到“快速求解”且绝对正确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法