2022-北京卷-06 单-等差数列充要条件

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与性质，以及充分条件与必要条件。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 设 $\{a_n\}$ 是公差不为 $0$ 的无穷等差数列，则“$\{a_n\}$ 为递增数列”是“存在正整数 $N_0$，当 $n>N_0$ 时，$a_n>0$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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判断充要条件，需要分别验证“充分性（前推后）”和“必要性（后推前）”。

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$（已知 $d\ne 0$）。

1. 充分性（已知递增，证最终恒正）：若 $\{a_n\}$ 递增，则 $d>0$。由通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 可知，随着 $n$ 的增大，$a_n$ 趋于正无穷大，必然存在一个项数 $N_0$，使得其后的所有项都大于 $0$。

2. 必要性（已知最终恒正，证递增）：若从某一项起之后的所有项都大于 $0$，因为数列是无穷等差数列且 $d\ne 0$，假设它是递减的（即 $d<0$），则数列最终必定会趋于负无穷大，这与“最终恒正”矛盾。故只能 $d>0$，即数列递增。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$（已知 $d\ne 0$）。记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数。

1. 充分性证明（$\Rightarrow$）：

已知“$\{a_n\}$ 为递增数列”，则公差 $d>0$。

数列通项公式为 $a_n=a_1+(n-1)d$。

要使 $a_n>0$，即 $a_1+(n-1)d>0$，

解得：$n>1-\frac{a_1}{d}$。

由于 $n$ 为正整数，我们可以取正整数 $N_0=\max \left(1,\left[1-\frac{a_1}{d}\right]+1\right)$。

当 $n>N_0$ 时，必然有 $n>1-\frac{a_1}{d}$，从而推得 $a_n>0$。

所以，充分性成立。

2. 必要性证明（$\Leftarrow$）：

已知“存在正整数 $N_0$，当 $n>N_0$ 时，$a_n>0$”。需要证明数列递增，即 $d>0$。

我们采用反证法：

假设 $\{a_n\}$ 不是递增数列。因为 $d\ne 0$，所以只能是 $d<0$。

任取一个整数 $k>N_0$，由题设知 $a_k>0$。

对于 $n>k$，有 $a_n=a_k+(n-k)d$。

令 $a_k+(n-k)d<0$，由于 $d<0$，解得 $n>k-\frac{a_k}{d}$。

我们可以取正整数 $N_1=\left[k-\frac{a_k}{d}\right]+1$。

显然 $N_1>k>N_0$。但当 $n=N_1$ 时，$a_n<0$。

这与已知条件“当 $n>N_0$ 时恒有 $a_n>0$”相矛盾！

因此，假设不成立，必须有 $d>0$，即 $\{a_n\}$ 为递增数列。

所以，必要性成立。

综上所述，“$\{a_n\}$ 为递增数列”是“存在正整数 $N_0$，当 $n>N_0$ 时，$a_n>0$”的充分必要条件。

结论：对应选项 C 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 无穷等差数列的极限思想：

   对于无穷等差数列 $a_n=a_1+(n-1)d$：

   • 当 $d>0$ 时，${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=+\infty$，即数列最终必然全是正数。

   • 当 $d<0$ 时，${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=-\infty$，即数列最终必然全是负数。

     本题正是利用了这一核心性质来设置逻辑条件的。

2. 逻辑推导的严密性（反证法的妙用）：

   在证明必要性时，很多同学可能会想当然地去寻找“正负交界点”，但条件给出的是“存在某个 $N_0$”，这个 $N_0$ 未必就是正负交界的那一项（它可能远远大于交界项）。此时，使用反证法（假设 $d<0$，证明必有负数项出现从而引发矛盾）是唯一严谨且完整逻辑的代数证明路径。

3. 试题评价：本题将数列的单调性、符号判定与逻辑用语（充要条件）巧妙结合，考查了学生对数学概念本质的理解以及逻辑推理能力（尤其是反证法的应用），是一道非常优秀的逻辑判断题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项
• 2013-浙江卷理-18 解-等差数列通项与性质