2022-新高考II卷-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数形式及其运算，以及虚数单位的性质。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） $(2+2\text{i})(1-2\text{i})=$()

A. $-2+4\text{i}$　　　　B. $-2-4\text{i}$　　　　C. $6+2\text{i}$　　　　D. $6-2\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

本题考查复数的乘法。只需将复数看作多项式，利用分配律完全展开，然后利用虚数单位的基本性质 $i^2=-1$ 将含 $i^2$ 的项转化为实数，最后合并实部与虚部即可。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用多项式乘法分配律展开 $(2+2\text{i})(1-2\text{i})$ $=2\times 1+2\times (-2\text{i})+2\text{i}\times 1+2\text{i}\times (-2\text{i})$ $=2-4\text{i}+2\text{i}-4{\text{i}}^2$

第二步：利用 $i^2=-1$ 化简并合并同类项 因为 ${\text{i}}^2=-1$，代入上式得： $=2-2\text{i}-4\times (-1)$ $=2-2\text{i}+4$ $=(2+4)-2\text{i}$ $=6-2\text{i}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心法则：复数乘法的通用公式为 $(a+b\text{i})(c+d\text{i})=(ac-bd)+(ad+bc)\text{i}$。虽然可以直接套公式，但通常建议像多项式一样展开，更不容易记错符号。
2. 易错点：
   • 符号错误：在处理尾项的乘积时，$-4{\text{i}}^2$ 经常被粗心算成 $-4$，忘记了 ${\text{i}}^2=-1$ 会导致符号反转，从而变成 $+4$。
   • 虚部加减：合并一次项 $-4\text{i}+2\text{i}$ 时算错，如误算为 $+2\text{i}$（对应选项 C）或 $-6\text{i}$。
3. 运算习惯：保持“先展开，再换方（$i^2=-1$），后合并”的三步走习惯，可以稳拿这 5 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果题目改为求复数 $z=\frac{2+2\text{i}}{1-2\text{i}}$，该如何计算？ (提示：需要进行复数的除法运算，即分子分母同乘分母的共轭复数 $1+2\text{i}$。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2021-新高考I卷-02 单-复数运算
• 1989-全国卷理-07 单-复数与共轭的模
• 2004-全国卷I理-01 单-复数的乘方运算