2021-新高考I卷-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数形式及其运算，以及共轭复数的概念与性质。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）已知 $z=2-\text{i}$，则 $z(\bar{z}+\text{i})=$（ ）

A. $6-2\text{i}$　　　　B. $4-2\text{i}$　　　　C. $6+2\text{i}$　　　　D. $4+2\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求共轭复数：根据共轭复数的定义（实部不变，虚部变号），由 $z=2-\text{i}$ 得到 $\bar{z}$。
2. 处理括号内运算：先计算 $\bar{z}+\text{i}$，将复杂的表达式简化。
3. 执行复数乘法：利用多项式乘法分配律将 $z$ 与简化后的项相乘，并利用 ${\text{i}}^2=-1$ 进行实部与虚部的合并。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求出共轭复数 $\bar{z}$ 已知 $z=2-\text{i}$，根据共轭复数的定义： $\bar{z}=2+\text{i}$。

第二步：计算括号内的部分 $(\bar{z}+\text{i})$ $\bar{z}+\text{i}=(2+\text{i})+\text{i}=2+2\text{i}$。

第三步：进行复数乘法运算 将 $z=2-\text{i}$ 与上一步结果 $2+2\text{i}$ 相乘： $z(\bar{z}+\text{i})=(2-\text{i})(2+2\text{i})$ 利用分配律展开： $=2\times 2+2\times 2\text{i}-\text{i}\times 2-\text{i}\times 2\text{i}$ $=4+4\text{i}-2\text{i}-2{\text{i}}^2$

第四步：利用 $i^2=-1$ 化简结果 $=4+2\text{i}-2\times (-1)$ $=4+2\text{i}+2$ $=6+2\text{i}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心概念：复数 $z=a+bi$ 的共轭复数为 $\bar{z}=a-bi$。在坐标系中，它们关于实轴（$x$ 轴）对称。
2. 运算技巧：复数的乘法可以完全类比多项式的乘法，唯一的区别是最后要将所有的 $i^2$ 替换为 $-1$。
3. 避坑指南：
   • 符号陷阱：在计算 $-2{\text{i}}^2$ 时，极易忽略负负得正，将其误算为 $-2$。务必养成 $-2i^2=-2(-1)=+2$ 的书写习惯。
   • 共轭记错：注意只有虚部变号。如果误将实部也变号，会得到错误的选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题也可以利用复数的性质 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$ 来拆分： $z(\bar{z}+\text{i})=z\bar{z}+zi=|z{|}^2+zi$。 $|z{|}^2=2^2+(-1{)}^2=5$； $zi=(2-\text{i})\text{i}=2\text{i}-{\text{i}}^2=2\text{i}+1$。 $5+(2\text{i}+1)=6+2\text{i}$。这种方法在处理更复杂的复数表达式时往往更加快捷。
• 变式思考：如果题目求的是 $\frac{z}{\bar{z}+\text{i}}$，则需要利用分母实数化的方法进行处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2014-江西卷理-01 单-共轭复数