2022-新高考I卷-11 多-抛物线综合

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，以及直线与抛物线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 已知 $O$ 为坐标原点，点 $A(1,1)$ 在抛物线 $C:x^2=2py(p>0)$ 上，过点 $B(0,-1)$ 的直线交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，则()

A. $C$ 的准线为 $y=-1$　　　　　　　　　　B. 直线 $AB$ 与 $C$ 相切

C. $|OP|\cdot |OQ|>|OA{|}^2$　　　　　　　　　　D. $|BP|\cdot |BQ|>|BA{|}^2$

🔍【思路分析】

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1. 判定 A（基础方程）：将 $A(1,1)$ 代入抛物线方程求出 $p$，进而确定准线方程。
2. 判定 B（切线判定）：求出直线 $AB$ 的方程，与抛物线方程联立，观察判别式 $\Delta$ 或重根情况。
3. 判定 C（原点距离积）：设直线 $PQ$ 方程，联立抛物线得到 $x_1,x_2$ 的关系。利用两点间距离公式表示 $|OP|\cdot |OQ|$，并通过基本不等式与 $|OA{|}^2$ 比较。
4. 判定 D（定点距离积）：利用过点 $B(0,-1)$ 的直线参数方程 $x=t\cos \alpha ,y=-1+t\sin \alpha$，代入抛物线方程，根据参数 $t$ 的几何意义 $|t_1{t}_2|$ 求解。

✅【答案】

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BCD

✍【详细解析】

Abstract

1. 判定 A 选项（抛物线基础性质）：

将点 $A(1,1)$ 代入抛物线方程 $x^2=2py$，得 $1^2=2p\times 1$，解得 $2p=1$．

故抛物线 $C$ 的方程为 $x^2=y$，即 $y=x^2$．

此时 $p=\frac{1}{2}$，准线方程为 $y=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{4}$．

故 A 选项错误．

2. 判定 B 选项（切线判定）：

已知 $A(1,1),B(0,-1)$，计算直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}=\frac{1-(-1)}{1-0}=2$．

直线 $AB$ 的方程为 $y=2x-1$．

联立方程组：$\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ x^2=y\end{array}\Rightarrow x^2-2x+1=0\Rightarrow (x-1{)}^2=0$．

方程有两个相等的实根 $x=1$，故直线 $AB$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $A$．

故 B 选项正确．

3. 判定 C 选项（关于原点的距离积）：

解法一：基本不等式法

设过点 $B(0,-1)$ 的直线方程为 $y=kx-1$。联立 $x^2=y$，得 $x^2-kx+1=0$．

设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，由韦达定理：$x_1+x_2=k,x_1{x}_2=1$．

且 $y_1{y}_2=(x_1^2)(x_2^2)=(x_1{x}_2{)}^2=1$．

$|OP|\cdot |OQ|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}\ge \sqrt{2x_1{y}_1}\cdot \sqrt{2x_2{y}_2}=2\sqrt{x_1{x}_2{y}_1{y}_2}=2$．

因为 $|OA{|}^2=1^2+1^2=2$，且等号成立条件为 $x_1=y_1=1$，即 $P,Q$ 与 $A$ 重合，这与直线交于两点矛盾，故等号不成立．

故 $|OP|\cdot |OQ|>|OA{|}^2$ 恒成立，C 选项正确．

4. 判定 D 选项（关于定点 B 的距离积）：

解法二：参数方程法

设过点 $B(0,-1)$ 的直线参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=t\cos \alpha \\ y=-1+t\sin \alpha \end{array}$（$t$ 为参数）．

代入 $x^2=y$ 得：$(t\cos \alpha {)}^2=-1+t\sin \alpha \Rightarrow t^2{\cos }^2\alpha -t\sin \alpha +1=0$．

设 $P,Q$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2$，则 $|BP|\cdot |BQ|=|t_1{t}_2|=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$．

由直线与抛物线有两个交点，$\Delta ={\sin }^2\alpha -4{\cos }^2\alpha >0$，即 ${\tan }^2\alpha >4\Rightarrow \frac{1}{{\cos }^2\alpha }>5$．

又 $|BA{|}^2=(1-0{)}^2+(1-(-1){)}^2=1+4=5$．

故 $|BP|\cdot |BQ|=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }>5=|BA{|}^2$．

故 D 选项正确．

故选：$BCD$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 参数方程的优越性：在处理过定点的距离乘积（如 $|BP|\cdot |BQ|$）时，直线的参数方程结合韦达定理 $|t_1{t}_2|$ 是最简洁的代数工具，避免了复杂的两点距离公式化简。
2. 切线的判定通法：对于二次曲线，直线与其相切等价于联立方程后判别式 $\Delta =0$（需排除直线与对称轴平行的情况）。
3. 动态不等式的证明：本题中 $|OA{|}^2$ 和 $|BA{|}^2$ 实际上是直线处于“切线”临界状态时的数值。由于题目要求直线与曲线交于“两点”，说明直线必须脱离切线位置，从而产生大于号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：C 选项也可以利用极坐标系处理。抛物线在原点处的切线及距离关系可以通过 $r=\frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }$ 进行分析。
• 变式思考：如果点 $B$ 移到抛物线内部，结论 C 和 D 还会保持大于号吗？
• 名师寄语：解析几何的多选题是“性质的盛宴”。第一眼看基础性质（准线），第二眼看临界状态（切线），第三眼用好代数工具（参数方程）。掌握了这三步，再复杂的距离积问题也能迎刃而解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.17 非对称韦达题型总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-福建卷理-18 解-抛物线的标准方程与定义
• 2004-全国卷I理-08 单-抛物线