2022-新高考I卷-16 填-椭圆定义

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及椭圆的第一定义。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)，$C$ 的上顶点为 $A$，两个焦点为 $F_1,F_2$，离心率为 $\frac{1}{2}$. 过 $F_1$ 且垂直于 $A{F}_2$ 的直线与 $C$ 交于 $D,E$ 两点，$|DE|=6$，则 $△ADE$ 的周长是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 参数比例确定：由 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，可设 $a=2c$，则 $b=\sqrt{3}c$。
2. 几何位置分析：写出 $A(0,\sqrt{3}c)$ 和 $F_2(c,0)$，得到直线 $A{F}_2$ 的斜率。利用垂直关系确定直线 $DE$ 的方程。
3. 核心几何发现：通过计算发现直线 $DE$ 经过线段 $A{F}_2$ 的中点，即 $DE$ 是 $A{F}_2$ 的垂直平分线。这一结论可将 $AD$ 转化为 $D{F}_2$，$AE$ 转化为 $E{F}_2$。
4. 利用定义转化周长： $△ADE$ 的周长 $=|AD|+|AE|+|DE|=|D{F}_2|+|E{F}_2|+(|D{F}_1|+|E{F}_1|)$。 根据椭圆定义，该周长恰好等于 $2a+2a=4a$。
5. 求解 $a$ 并得出结论：联立直线 $DE$ 与椭圆方程，利用弦长公式结合 $|DE|=6$ 求出 $c$，进而求得 $4a$ 的值。

✅【答案】

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$13$

✍【详细解析】

Abstract

【解法一】 1. 确定椭圆基本参数： 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=2c$． $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{3}c$． 上顶点 $A(0,\sqrt{3}c)$，焦点 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$． $A{F}_2$ 的斜率 $k_{A{F}_2}=\frac{\sqrt{3}c-0}{0-c}=-\sqrt{3}$．

2. 确定直线 $DE$ 的方程与几何特征： 直线 $DE\perp A{F}_2$，故 $k_{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$． 直线 $DE$ 过 $F_1(-c,0)$，方程为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+c)$． 核心几何发现（垂直平分线性质）： 计算 $A{F}_2$ 的中点 $M(\frac{c}{2},\frac{\sqrt{3}c}{2})$．代入 $DE$ 方程：$\frac{\sqrt{3}c}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}(\frac{c}{2}+c)=\frac{\sqrt{3}c}{2}$，成立！ 说明直线 $DE$ 恰好是线段 $A{F}_2$ 的垂直平分线． 故 $|AD|=|D{F}_2|$ 且 $|AE|=|E{F}_2|$．

3. 转化 $△ADE$ 的周长： 周长 $L=|AD|+|AE|+|DE|=|D{F}_2|+|E{F}_2|+|DE|$． 由椭圆定义：$|D{F}_1|+|D{F}_2|=2a$ 且 $|E{F}_1|+|E{F}_2|=2a$． 又 $|DE|=|D{F}_1|+|E{F}_1|$（因为 $DE$ 过焦点 $F_1$）． 故 $L=(|D{F}_2|+|D{F}_1|)+(|E{F}_2|+|E{F}_1|)=2a+2a=4a$．

4. 计算 $a$ 的值： 联立 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+c)$ 与 $\frac{x^2}{4c^2}+\frac{y^2}{3c^2}=1$： 整理得 $13x^2+8cx-32c^2=0$． $|DE|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{1}{3}}\cdot \frac{\sqrt{(8c{)}^2-4\cdot 13\cdot (-32c^2)}}{13}=\frac{48}{13}c$． 已知 $|DE|=6$，则 $\frac{48}{13}c=6\Rightarrow c=\frac{13}{8}$． 则 $a=2c=\frac{13}{4}$．

5. 得出结论： 周长 $L=4a=4\times \frac{13}{4}=13$．

【解法二】(验证中点)：仿法一得 $a=2c,b=\sqrt{3}c$,仿法一由 $DE=6$算出 $c=\frac{13}{8}$从而 $a=\frac{13}{4}$.

如图，连接E$F_2$， $D{F}_2$，易知 $A{F}_2$的中点为 $M(\frac{1}{2}c,\frac{\sqrt{3}}{2}c$, $DE：y=\frac{1}{\sqrt{3}}(x+c)$，显然 $M$在直线 $DE$，即 $DE$是 $A$ 的垂直平分线，从而 $AE=E{F}_2$， $AD=D{F}_2$，故 $△ADE$的周长为 $AD+AE+DE=D{F}_2+E{F}_2+DE=D{F}_2+E{F}_2+D{F}_1+E=4a=13.$

【解法三】(硬算+巧开方)：由椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$可得 $a=2c$，从而 $b=\sqrt{3}c$，椭圆方程化为 $3x^2+4y^2=12c^2$， $A(0,\sqrt{3}c)$,取$F_1$为椭圆的左焦点，$F_2$为椭圆的右焦点，易得 $A{F}_2$的斜率为 $-\sqrt{3}$，故 $DE$的斜率为$\frac{1}{\sqrt{3}}$， $DE$的方程为 $y=\frac{1}{\sqrt{3}}(x+c)$，代入椭圆方程并整理得

$13x^2+8cx-32c^2=0$，设 $D(x_1$,$y_1$),E($x_2$,$y_2$),则$x_1$+$x_2$=$-\frac{8}{13}c$，{{x}_{1}}$${{x}_{2}}=−\frac{32}{13}$${{c}^{2}},

于是 $DE=\sqrt{1+\frac{1}{3}}|x_1-x_2|$=$\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2}$=$\frac{48}{13}c$=6，解得 $c=\frac{13}{8}$，

此时 $13x^2+13x-\frac{169}{2}=0$，解得 $x=\frac{-1\pm 3\sqrt{3}}{2}$，取 $D(\frac{-1+3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{12+3\sqrt{3}}{8}$), $E(\frac{-1-3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{-12+3\sqrt{3}}{8}$)， $A(0,\frac{13}{8}\sqrt{3}),$

$AD=\sqrt{{\text{(}\frac{-1+3\sqrt{3}}{2}\text{)}}^{\text{2}}+{(\frac{-6+5\sqrt{3}}{4})}^2}$=$\frac{1}{4}\sqrt{223-84\sqrt{3}}$, $AE=\sqrt{{\text{(}\frac{1+3\sqrt{3}}{2}\text{)}}^{\text{2}}+{(\frac{6+5\sqrt{3}}{4})}^2}$=$\frac{1}{4}\sqrt{223+84\sqrt{3}}$,

设 $223+84\sqrt{3}={(m+n\sqrt{3})}^2$， 则$\{\begin{array}{c}{m}^2+3n^2=223,\\ mn=42,\end{array}$

解得 $m=14，n=3，故AD=\frac{14-3\sqrt{3}}{4}$，

同理$AE=\frac{14+3\sqrt{3}}{4}$， 故$AD+AE=7$，$△ADE的周长为AD+AE+DE=13$.

【解法四】 (硬算+巧平方)：仿上得到$AD、AE$的长度，设$t=\sqrt{223-84\sqrt{3}}+\sqrt{223+84\sqrt{3}}$，则$t^2=446+2\sqrt{{223}^2-{84}^2\times 3}=446+2\sqrt{28561}=446+2\times 189=784={28}^2$,故$t=28，AD+AE=7$. 下同法三。

【解法五】(极坐标方程): $\because e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，则设$a=2k,c=k,b=\sqrt{3}k$， 由焦点弦公式，可知$|DE|=\frac{2ep}{1-e^2{\cos }^2{30}^{\circ }}=\frac{2\times \frac{1}{2}\times \frac{3k^2}{k}}{1-\frac{1}{4}\times \frac{3}{4}}=\frac{48k}{13}=6$即$k=\frac{13}{8}$，

由椭圆的定义可得，$\Delta ADE$的周长等价于$|DE|+|D{F}_2|+|E{F}_2|=4a=8k=8\times \frac{13}{8}=13$．

故答案为：$13$。

【试题评价】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 定义法的威力：本题若直接计算 $A,D,E$ 三点距离，计算量极其恐怖。通过发现垂直平分线，将周长转化为焦半径之和（$2a$），这是典型的“以形助数”。
2. 焦点弦的特殊性：过焦点的弦被焦点分成两部分，这两部分分别是两个不同焦半径的一部分。这种结构是利用椭圆第一定义的最佳切入点。
3. 计算技巧：在处理含有参数 $c$ 的二次方程时，保持 $c$ 参与运算直到最后一步再代入数值，可以显著减少因小数或繁琐分数导致的错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题也可以利用极坐标系求焦点弦长。以 $F_1$ 为极点，正东方向为极轴，椭圆方程为 $\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta }$。直线 $DE$ 的极角为 $30^{\circ }$ 和 $210^{\circ }$，利用 $|DE|=\rho (30^{\circ })+\rho (210^{\circ })$ 求解。
• 变式思考：如果直线 $DE$ 不垂直于 $A{F}_2$，而是垂直于 $x$ 轴（即通径），$△ADE$ 的周长还是 $4a$ 吗？
• 名师寄语：解析几何的填空压轴题往往隐藏着一个“几何彩蛋”。当你发现计算量大到离谱时，停下来，看看那条直线是不是对称轴、垂直平分线，或者是否过焦点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程