2022-浙江卷-02 单-复数相等

本题导读

本题考查复数的代数形式及其运算，以及复数相等的充要条件。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 已知 $a,b\in \mathbf{R}$，$a+3i=(b+i)i$（$i$ 为虚数单位），则()

A. $a=1,b=-3$　　B. $a=-1,b=3$　　C. $a=-1,b=-3$　　D. $a=1,b=3$

🔍【思路分析】

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本题考查复数的乘法和复数相等。解题思路分为两步：首先，利用复数的乘法分配律化简等式右边的表达式，注意 $i^2=-1$ 的转化；其次，根据两个复数相等的充要条件（即实部等于实部，虚部等于虚部），建立关于 $a$ 和 $b$ 的方程组求解即可。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为等式右边 $(b+i)i=bi+i^2$，

又因为 $i^2=-1$，

所以等式右边化简为 $-1+bi$。

原等式可化为：$a+3i=-1+bi$。

因为 $a,b\in \mathbf{R}$，

根据复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部），可得：

$\{\begin{array}{l}a=-1\\ 3=b\end{array}$

即 $a=-1,b=3$。

观察选项，可知选项 B 符合题意。

故选：B．

本题考查复数代数形式的乘法运算，以及复数相等的定义。题目设计直白，没有复杂的变形，是对基础计算能力和基本概念的直接检验，属于标准的基础得分题。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 复数的乘法法则：在进行复数乘法展开时，可以将其视作多项式乘法，但千万不要忘记将 $i^2$ 替换为 $-1$。这是复数运算中最基础也是最容易因粗心而出错的地方。

2. 复数相等的充要条件：设 $z_1=a+bi$，$z_2=c+di$。若 $a,b,c,d\in \mathbf{R}$，则 $z_1=z_2⟺a=c$ 且 $b=d$。

3. 严谨性提示：注意题干开头的条件“$a,b\in \mathbf{R}$”。这是应用“实部等于实部，虚部等于虚部”的大前提！如果未说明 $a,b$ 为实数，则无法直接令对应部分相等。平时训练中应引导学生关注题目中的此类细节限制，培养严谨的数学思维。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-07 单-复数与共轭的模
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法