2022-浙江卷-21 解-椭圆综合

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于设线法（设直线方程）、坐标代换法（转化为关于一元变量的函数）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{12}+y^2=1$．设 $A$，$B$ 是椭圆上异于 $P(0,1)$ 的两点，且点 $Q(0,\frac{1}{2})$ 在线段 $AB$ 上，直线 $PA$，$PB$ 分别交直线 $y=-\frac{1}{2}x+3$ 于 $C$，$D$ 两点．

（Ⅰ）求点 $P$ 到椭圆上点的距离的最大值；

（Ⅱ）求 $|CD|$ 的最小值．

🔍【思路分析】

破题导航

第（Ⅰ）问：转化为函数最值问题。

设椭圆上任意一点 $M(x,y)$，利用两点间的距离公式写出 $|PM{|}^2$ 的表达式。因为点在椭圆上，利用椭圆方程消去 $x^2$，将距离的平方转化为关于纵坐标 $y$ 的一元二次函数。注意 $y$ 的取值范围是 $[-1,1]$，结合二次函数的对称轴即可求出最大值。

第（Ⅱ）问：解析几何综合大题的“设、列、算、化”。

1. 设线与联立：点 $Q(0,\frac{1}{2})$ 在线段 $AB$ 上，可设直线 $AB$ 的方程为 $y=kx+\frac{1}{2}$，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$。

2. 求交点：写出直线 $PA$、$PB$ 的方程，分别与定直线 $y=-\frac{1}{2}x+3$ 联立，用 $x_1,x_2$ 及 $k$ 表示出 $C,D$ 两点的横坐标 $x_3,x_4$。

3. 表达目标量：利用直线的弦长公式将 $|CD|$ 转化为含有 $|x_3-x_4|$ 的表达式，再利用韦达定理将其转化为仅关于参数 $k$ 的函数。

4. 求最值：构造关于 $k$ 的函数 $f(k)$，利用导数研究其单调性，进而求出 $|CD|$ 的最小值。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

(2) $|CD|$ 的最小值为 $\frac{6\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆上任意一点为 $M(x,y)$，已知 $P(0,1)$。

由两点间的距离公式可得：

$|PM{|}^2=x^2+(y-1{)}^2$

因为点 $M$ 在椭圆 $\frac{x^2}{12}+y^2=1$ 上，所以 $x^2=12-12y^2$，且 $y\in [-1,1]$。

代入 $|PM{|}^2$ 的表达式中，消去 $x^2$ 得：

|PM|^2 = (12 - 12y^2) + (y^2 - 2y + 1)$$$$|PM|^2 = -11y^2 - 2y + 13 \quad (y \in [-1, 1])

令 $f(y)=-11y^2-2y+13$，该二次函数的图象开口向下，对称轴为 $y=-\frac{-2}{2\times (-11)}=-\frac{1}{11}$。

因为 $-\frac{1}{11}\in [-1,1]$，所以当 $y=-\frac{1}{11}$ 时，$f(y)$ 取得最大值：

$f\left(-\frac{1}{11}\right)=-11\times {\left(-\frac{1}{11}\right)}^2-2\times \left(-\frac{1}{11}\right)+13=\frac{144}{11}$

因此，$|PM{|}_{\max }=\sqrt{\frac{144}{11}}=\frac{12\sqrt{11}}{11}$。

即点 $P$ 到椭圆上点的距离的最大值为 $\frac{12\sqrt{11}}{11}$。

由题意，直线 $AB$ 过点 $Q(0,\frac{1}{2})$，且斜率显然存在，设直线 $AB$ 的方程为 $y=kx+\frac{1}{2}$，设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。

将直线 $AB$ 方程代入椭圆方程 $\frac{x^2}{12}+y^2=1$：

$\frac{x^2}{12}+{\left(kx+\frac{1}{2}\right)}^2=1$

化简整理得：

$(12k^2+1)x^2+12kx-9=0$

由韦达定理可得：

$x_1+x_2=-\frac{12k}{12k^2+1},x_1{x}_2=-\frac{9}{12k^2+1}$

此时：

$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{\frac{144k^2}{(12k^2+1{)}^2}+\frac{36}{12k^2+1}}=\frac{6\sqrt{16k^2+1}}{12k^2+1}$

设 $C(x_3,y_3)$，$D(x_4,y_4)$。

直线 $PA$ 的方程为：$y-1=\frac{y_1-1}{x_1}x⟹y=\frac{y_1-1}{x_1}x+1$。

将 $y_1=k{x}_1+\frac{1}{2}$ 代入，得直线 $PA$ 斜率为 $\frac{k{x}_1-\frac{1}{2}}{x_1}$。

联立直线 $PA$ 与直线 $CD:y=-\frac{1}{2}x+3$：

-\frac{1}{2}x_3 + 3 = \frac{kx_1 - \frac{1}{2}}{x_1}x_3 + 1$$$$\left(k - \frac{1}{2x_1} + \frac{1}{2}\right)x_3 = 2 \implies x_3 = \frac{4x_1}{(2k+1)x_1 - 1}

同理可得，直线 $PB$ 与直线 $CD$ 的交点横坐标为：

$x_4=\frac{4x_2}{(2k+1)x_2-1}$

因为点 $C,D$ 都在直线 $y=-\frac{1}{2}x+3$ 上，由弦长公式可得：

|CD| = \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} |x_3 - x_4| = \frac{\sqrt{5}}{2} \left| \frac{4x_1}{(2k+1)x_1 - 1} - \frac{4x_2}{(2k+1)x_2 - 1} \right|$$$$|CD| = 2\sqrt{5} \left| \frac{x_1[(2k+1)x_2 - 1] - x_2[(2k+1)x_1 - 1]}{[(2k+1)x_1 - 1][(2k+1)x_2 - 1]} \right|$$$$|CD| = 2\sqrt{5} \left| \frac{x_2 - x_1}{(2k+1)^2x_1x_2 - (2k+1)(x_1+x_2) + 1} \right|

将韦达定理的结论代入分母中化简：

(2k+1)^2 \left(-\frac{9}{12k^2+1}\right) - (2k+1)\left(-\frac{12k}{12k^2+1}\right) + 1$$$$= \frac{-9(4k^2+4k+1) + 12k(2k+1) + 12k^2+1}{12k^2+1}$$$$= \frac{-36k^2 - 36k - 9 + 24k^2 + 12k + 12k^2 + 1}{12k^2+1}$$$$= \frac{-24k - 8}{12k^2+1} = \frac{-8(3k+1)}{12k^2+1}

将分母和 $|x_1-x_2|$ 代回 $|CD|$：

$|CD|=2\sqrt{5}\cdot \frac{\frac{6\sqrt{16k^2+1}}{12k^2+1}}{\left|\frac{-8(3k+1)}{12k^2+1}\right|}=2\sqrt{5}\cdot \frac{6\sqrt{16k^2+1}}{8|3k+1|}=\frac{3\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{\sqrt{16k^2+1}}{|3k+1|}$

下面求函数 $f(k)=\frac{\sqrt{16k^2+1}}{|3k+1|}$ 的最小值。

考虑到绝对值，我们对 $k$ 进行分类讨论：

（1）当 $k<-\frac{1}{3}$ 时，$3k+1<0$：

此时 $f(k)=-\frac{\sqrt{16k^2+1}}{3k+1}>\sqrt{\frac{16k^2}{9k^2}}=\frac{4}{3}$，所以 $|CD|=\frac{3\sqrt{5}}{2}f(k)>\frac{3\sqrt{5}}{2}\times \frac{4}{3}=2\sqrt{5}$。

（2）当 $k>-\frac{1}{3}$ 时，$3k+1>0$：

此时 $f(k)=\frac{\sqrt{16k^2+1}}{3k+1}$。利用导数求最值：

$f^{\prime }(k)=\frac{\frac{16k}{\sqrt{16k^2+1}}(3k+1)-3\sqrt{16k^2+1}}{(3k+1{)}^2}=\frac{16k(3k+1)-3(16k^2+1)}{(3k+1{)}^2\sqrt{16k^2+1}}=\frac{16k-3}{(3k+1{)}^2\sqrt{16k^2+1}}$

令 $f^{\prime }(k)=0$，解得 $k=\frac{3}{16}$。

当 $k\in \left(-\frac{1}{3},\frac{3}{16}\right)$ 时，$f^{\prime }(k)<0$，$f(k)$ 单调递减；

当 $k\in \left(\frac{3}{16},+\infty \right)$ 时，$f^{\prime }(k)>0$，$f(k)$ 单调递增。

所以当 $k=\frac{3}{16}$ 时，$f(k)$ 取得极小值，也是该区间上的最小值：

$f\left(\frac{3}{16}\right)=\frac{\sqrt{16\times \frac{9}{256}+1}}{3\times \frac{3}{16}+1}=\frac{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}{\frac{9}{16}+1}=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}\times \frac{16}{25}=\frac{4}{5}$

由于 $\frac{4}{5}<\frac{4}{3}$，所以全域内的最小值为 $\frac{4}{5}$。

此时 $|CD{|}_{\min }=\frac{3\sqrt{5}}{2}\times \frac{4}{5}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。

综上所述，当 $k=\frac{3}{16}$ 时，$|CD|$ 取得最小值，最小值为

$\frac{6\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 一元二次函数最值问题：第（Ⅰ）问是很基础的“参数化”，解题关键是必须注意定义域 $y\in [-1,1]$，防止对称轴不在定义域内而导致的盲目取极值。

• 联立求解与弦长公式：第（Ⅱ）问展示了解析几何大题的标准流程。难点不在于想到这个方法，而在于巨大的代数化简工作量。在计算 $x_3$ 和 $x_4$ 时，要善用直线过某一点的几何特征化简斜率。

• 分式的代数整理：在化简 $\frac{x_2-x_1}{(2k+1{)}^2{x}_1{x}_2-(2k+1)(x_1+x_2)+1}$ 的分母时，要保持耐心，将韦达定理整体代入后，同分母合并，最后分子往往会出现能够大面积约分的公因式（如本题中的 $-24k-8$ 提取公因数后得到 $-8(3k+1)$）。

• 最值求解的导数应用：在得到包含根号的分式型函数求最值时，可以直接求导（注意复合函数求导法则，尤其是分子部分的求导 $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$），找导函数的零点。同时，分母包含绝对值或可能变号时，务必分类讨论定义域，确保极值即为最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

在解析几何大题中，掌握不同的代数处理技巧可以极大提高解题效率并降低计算出错率。

拓展一：第一问的“三角换元法” 椭圆上的点除了设直角坐标 $(x,y)$ 外，还可以利用椭圆的参数方程进行转化。 椭圆 $\frac{x^2}{12}+y^2=1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{3}\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$ ($\theta \in [0,2\pi )$)。 则点 $P(0,1)$ 到点 $M$ 的距离平方为：

|PM|^2 = (2\sqrt{3}\cos\theta - 0)^2 + (\sin\theta - 1)^2$$$$|PM|^2 = 12\cos^2\theta + \sin^2\theta - 2\sin\theta + 1

因为 ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$，代入得：

$|PM{|}^2=12(1-{\sin }^2\theta )+{\sin }^2\theta -2\sin \theta +1=-11{\sin }^2\theta -2\sin \theta +13$

令 $t=\sin \theta \in [-1,1]$，立刻转化为一元二次函数 $g(t)=-11t^2-2t+13$ 的最值问题。这种方法天然兼顾了变量的取值范围，是求解析几何极值问题的有效手段。

拓展二：第二问避开求导的“整体换元法” 在第二问的最后阶段，我们需要求 $f(k)=\frac{\sqrt{16k^2+1}}{3k+1}$（在 $k>-\frac{1}{3}$ 时）的最小值。原解析使用了求导法则，虽然严谨但计算量较大。对于形如 $\frac{\sqrt{A{k}^2+B}}{Ck+D}$ 的分式函数，通常可以采用整体换元法来巧妙避开求导。 具体操作如下： 令分母 $t=3k+1>0$，则 $k=\frac{t-1}{3}$。 将 $k$ 代入分子根号内部的表达式中：

$16k^2+1=16{\left(\frac{t-1}{3}\right)}^2+1=\frac{16(t^2-2t+1)+9}{9}=\frac{16t^2-32t+25}{9}$

此时，将原函数平方（求 $f(k)$ 的最小值等价于求 $f^2(k)$ 的最小值）：

$f^2(k)=\frac{16k^2+1}{(3k+1{)}^2}=\frac{\frac{16t^2-32t+25}{9}}{t^2}=\frac{1}{9}\left(16-\frac{32}{t}+\frac{25}{t^2}\right)$

此时观察括号内的表达式，如果我们令 $m=\frac{1}{t}$（因为 $t>0$，所以 $m>0$），则式子变成了关于 $m$ 的二次函数：

$h(m)=\frac{1}{9}\left(25m^2-32m+16\right)$

二次函数 $h(m)$ 在对称轴 $m=-\frac{-32}{2\times 25}=\frac{16}{25}$ 处取得最小值。 将 $m=\frac{16}{25}$ 代入，求得最小值为：

$h\left(\frac{16}{25}\right)=\frac{1}{9}\left(25\times {\left(\frac{16}{25}\right)}^2-32\times \frac{16}{25}+16\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{256}{25}-\frac{512}{25}+\frac{400}{25}\right)=\frac{1}{9}\times \frac{144}{25}=\frac{16}{25}$

所以 $f(k)$ 的最小值为 $\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$。 此时 $|CD{|}_{\min }=\frac{3\sqrt{5}}{2}\times \frac{4}{5}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。 这一技巧利用了高频出现的二次齐次结构结构，运算过程清晰流畅，极大地降低了求导出错的概率。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质