2022-甲卷理-04 单-三视图体积

本题导读

本题考查还原直观图，以及棱柱。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷理） 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 $1$，则该多面体的体积为()

A. $8$　　　　　　　B. $12$　　　　　　　C. $16$　　　　　　　D. $20$

🔍【思路分析】

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1. 三视图还原：根据三视图判断该几何体的空间结构。通常俯视图决定底面形状，正视图和侧视图决定高度和侧面特征。判断出该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱。

2. 提取尺寸参数：结合网格线（小正方形边长为 $1$）的格点数，确定直角梯形的上底、下底、高，以及整个棱柱的高。

3. 计算体积：利用棱柱的体积公式 $V=Sh$（底面积乘以高）进行求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 还原几何体直观图：

观察该多面体的三视图：正视图和侧视图的外轮廓均为矩形，这表明该几何体是一个直棱柱。

再观察俯视图，其形状为一个直角梯形。

综合可知，该几何体是一个以直角梯形为底面的直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$。

(注：原解析中称其为“正四棱柱”表述有误，正四棱柱的底面必须是正方形，此处已修正为直四棱柱)。

2. 确定几何体的尺寸参数：

结合网格纸比例（小正方形边长为 $1$），可以提取出几何体的各项尺寸：

• 四棱柱的底面（俯视图）是一个直角梯形 $ABCD$；

• 梯形的下底长为 $4$（占 4 个格），上底长为 $2$（占 2 个格），梯形的高为 $2$（占 2 个格）；

• 棱柱的侧棱 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABCD$，且由正视图/侧视图可知棱柱的高 $h=2$．

3. 计算几何体的体积：

首先，计算底面直角梯形的面积 $S$：

$S=\frac{1}{2}\times (\text{上底}+\text{下底})\times \text{高}=\frac{1}{2}\times (2+4)\times 2=6$

接着，计算直四棱柱的体积 $V$：

$V=S\cdot h=6\times 2=12$

4. 结论：

故该多面体的体积为 $12$．

对应选项 B 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：三视图还原的关键在于“长对正、高平齐、宽相等”。如果在正视图和侧视图中看到了完整的矩形结构，那么这个几何体极大概率是直棱柱，此时俯视图的形状就是它的底面形状。

• 规律总结：直棱柱的体积计算分为清晰的两步：第一步算底面积（平面几何），第二步乘柱高。此类题目网格边长为 1，直接数格子即可确定长度。

• 避坑指南：

  • 公式混淆：不要将直棱柱的体积公式 $V=Sh$ 误用为棱锥的公式 $V=\frac{1}{3}Sh$。

  • 读图错误：在数格子时，要分清梯形的上底、下底和梯形的高，不要与棱柱自身的高混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-05 单-三视图俯视图
• 2013-新课标I卷理-08 单-由三视图还原几何体
• 2013-浙江卷文-05 单-三视图组合体