2012-天津卷理-10 填-三视图体积

本题导读

本题考查三视图的还原，以及组合体体积的计算。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 一个几何体的三视图如图所示（单位：$\text{m}$），则该几何体的体积为 $\underline{}$ ${\text{m}}^3$.

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🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原形状：由三视图判断组合体的构成（长方体 + 两个球）。
2. 取准尺寸：从三视图中读出长方体长宽高与球的半径。
3. 分段求积：分别代入体积公式后相加。

✅【答案】

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$18+9\pi$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：还原几何体 由三视图知，该几何体由上方一个长方体与下方两个相切的球组合而成。

第二步：计算长方体体积 长方体的长、宽、高分别为 $6\text{m}$、$3\text{m}$、$1\text{m}$， $V_1=6\times 3\times 1=18$

第三步：计算两个球的体积 球的半径 $r=\frac{3}{2}\text{m}$， $V_2=2\times \frac{4}{3}\pi r^3=2\times \frac{4}{3}\pi \times {\left(\frac{3}{2}\right)}^3=2\times \frac{4}{3}\pi \times \frac{27}{8}=9\pi$

第四步：求和 $V=V_1+V_2=18+9\pi$

故应填 $18+9\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图与直观图的互化，长方体与球的体积公式。

核心方法：分解组合法——把组合体拆成熟悉的简单几何体分别求积再相加。

避坑指南：三视图中的尺寸是几何体的实际尺寸，球的直径要从视图宽度读准（本题半径为 $\frac{3}{2}$，不是 $3$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由教材”三视图还原几何体”习题改编，把长方体与球组合在一起。

结论推广：还原组合体时，“正视图看长和高、侧视图看宽和高、俯视图看长和宽”是通法。

方法推广：求组合体体积一律”先分解、再分别求、最后加减”，切忌直接套单一公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积 类题演练 (Links)

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