2022-甲卷理-19 解-相互独立事件

本题导读

本题考查相互独立事件。核心在于分类讨论法、列表分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷理） 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 $10$ 分，负方得 $0$ 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 $0.5,0.4,0.8$，各项目的比赛结果相互独立．

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用 $X$ 表示乙学校的总得分，求 $X$ 的分布列与期望．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（甲获冠军概率）：

   • 确定获胜条件：总分高者获胜，由于共 $3$ 个项目，甲学校要获得冠军，必须在 $3$ 场比赛中至少获胜 $2$ 场（即积 $20$ 分或 $30$ 分）。

   • 分类计算：分为“甲胜 3 场”和“甲胜 2 场负 1 场”两种互斥情况。利用相互独立事件的概率乘法公式分别计算，最后相加。

2. 第二问（分布列与期望）：

   • 确定变量取值：乙学校的总得分 $X$ 的可能取值为 $0,10,20,30$。

   • 计算各项概率：乙学校在三场比赛中获胜的概率分别为 $0.5,0.6,0.2$。分别计算出乙全负、胜 1 场、胜 2 场、全胜的概率。

   • 列分布列与求期望：汇总概率列出表格，利用定义公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算数学期望。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 见解析

(2) $E(X)=13$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求甲学校获得冠军的概率

根据题意，列出两个学校在各场比赛中获胜的概率表：

概率分布	第一场比赛	第二场比赛	第三场比赛
甲学校获胜概率	$0.5$	$0.4$	$0.8$
乙学校获胜概率	$0.5$	$0.6$	$0.2$

甲学校要获得冠军，需要在 $3$ 场比赛中至少获胜 $2$ 场。这包含两种互斥情况： ① 甲学校 3 场全胜： 概率为 $P_1=0.5\times 0.4\times 0.8=0.16$．

② 甲学校 3 场中获胜 2 场，败 1 场（包含三种情形）：

• 负第一场，胜后两场：$0.5\times 0.4\times 0.8=0.16$

• 负第二场，胜一三场：$0.5\times 0.6\times 0.8=0.24$

• 负第三场，胜前两场：$0.5\times 0.4\times 0.2=0.04$ 概率为 $P_2=0.16+0.24+0.04=0.44$．

故甲学校获得冠军的概率为：

$P=P_1+P_2=0.16+0.44=0.6$

．

（2）求 $X$ 的分布列与期望

乙学校的总得分 $X$ 的可能取值为：$0,10,20,30$．

• 当 $X=0$ 时（乙全负，即甲全胜）：

  $P(X=0)=0.5\times 0.4\times 0.8=0.16$

• 当 $X=10$ 时（乙胜 1 场，即甲胜 2 场）： 此概率即为（1）中的 $P_2$，故：

  $P(X=10)=0.44$

• 当 $X=20$ 时（乙胜 2 场负 1 场）：

  • 乙负第一场：$0.5\times 0.6\times 0.2=0.06$

  • 乙负第二场：$0.5\times 0.4\times 0.2=0.04$

  • 乙负第三场：$0.5\times 0.6\times 0.8=0.24$

    $P(X=20)=0.06+0.04+0.24=0.34$

• 当 $X=30$ 时（乙全胜）：

  $P(X=30)=0.5\times 0.6\times 0.2=0.06$

综上，随机变量 $X$ 的分布列为：

X	0	10	20	30
$P$	$0.16$	$0.44$	$0.34$	$0.06$

$X$ 的数学期望为：

E(X) = 0 \times 0.16 + 10 \times 0.44 + 20 \times 0.34 + 30 \times 0.06$$$$E(X) = 0 + 4.4 + 6.8 + 1.8 = 13

．

结论：乙学校总得分 $X$ 的期望为 $13$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 事件互斥与独立的转化：在计算“胜 2 场负 1 场”时，必须严格将其拆分为 3 种互斥的具体情况，再分别利用独立事件乘法公式计算，切忌遗漏。

  2. 期望线性性质快速求解法（进阶）：在求总分期望 $E(X)$ 时，可以将乙的得分分解为三场得分之和，即 $X=X_1+X_2+X_3$。

     • $E(X_1)=10\times 0.5=5$

     • $E(X_2)=10\times 0.6=6$

     • $E(X_3)=10\times 0.2=2$

       根据期望的线性可加性：$E(X)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)=5+6+2=13$。在考场上可以用此法进行极速验证！

• 避坑指南：

  • 混淆甲乙概率：本题中三场比赛的概率都不一样，且甲乙是互相对立的。在第二问求 $X=20$ 时，务必切换到乙的视角（对应的概率是 $0.5,0.6,0.2$）进行选取，千万别顺手抄了甲的概率。

  • 分布列校验：列出分布列后，一定要顺手将所有概率相加核对（$0.16+0.44+0.34+0.06=1$），这是防止中间计算出错的最有效屏障。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2013-湖北卷理-09 单-数学期望
• 2014-上海卷理-13 填-数学期望