2023-上海卷-06 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及复数的几何意义（复数的模）。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）已知复数 $z=1-i$（$i$ 为虚数单位），则 $|1+iz|=$ ________．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代入算式：将已知的复数 $z=1-i$ 整体代入目标表达式 $1+iz$ 的内部。
2. 复数代数化简：展开多项式，利用虚数单位的性质 $i^2=-1$ 进行化简，将结果整理为复数的标准代数形式 $a+bi(a,b\in \mathbb{R})$。
3. 求解模长：识别化简后复数的实部与虚部，直接套用复数模长公式 $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ 计算最终数值。

✅【答案】

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$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代入并化简复数表达式 将 $z=1-i$ 代入代数式 $1+iz$ 中： $1+iz=1+i(1-i)$

展开括号项进行复数乘法： $1+i(1-i)=1+i-i^2$

利用虚数单位的基本性质 $i^2=-1$ 代入式中： $1+i-(-1)=1+i+1=2+i$ 此时，该复数的实部 $a=2$，虚部 $b=1$。

第二步：计算复数的模长 依据复数的模长公式，对于任意复数 $Z=a+bi$，其模长为： $|Z|=\sqrt{a^2+b^2}$

将 $a=2,b=1$ 代入公式： $|1+iz|=|2+i|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

故答案为：$\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位 $i$ 的高次幂性质、复数标准形式的转化、复数模的代数定义。
2. 核心方法：代入消元法、代数公式法。
3. 避坑指南：

• 双重负号陷阱：在化简 $-i^2$ 时，极易因为粗心出现符号错漏。必须严格遵循 $-i^2=-(-1)=+1$ 的运算规则，避免因错算成 $1-1=0$ 导致后续结果错误。
• 虚部提取错误：复数模长公式 $\sqrt{a^2+b^2}$ 中的 $b$ 代表的是虚部系数，是一个实数。在本题中 $b=1$，切勿将虚数单位 $i$ 一并带入公式中错写为 $\sqrt{2^2+i^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题作为上海高考数学卷填空题前段的复数考查题，属于结构标准、强调核心运算细节的常规送分基础题。
2. 结论推广：复数的模长具备与实数绝对值相类似的优秀代数积商性质，即对于任意复数 $z_1,z_2$，恒有：

• 积的模长等于模长的积：$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$；
• 商的模长等于模长的商：$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}(z_2\ne 0)$。 本题若通过提取公因式 $i$ 进行模长拆分求解： $|1+iz|=|i(-i+z)|=|i|\cdot |z-i|$ 因为 $|i|=1$，且 $z-i=(1-i)-i=1-2i$，则： $|1+iz|=1\times |1-2i|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{5}$ 利用此模长乘法分解性质，可在处理更复杂的复合复数求模问题时有效规避繁琐的展开过程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2014-新课标II卷理-02 单-复平面与对应点
• 2010-新课标卷文-03 单-复数模