2023-乙卷文-01 单-复数

本题导读

本题考查虚数单位 $i$ 的性质，以及复数的代数四则运算。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷文）$|2+i^2+2i^3|=$（ ）

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简幂次：利用虚数单位的性质 $i^2=-1$ 和 $i^3=-i$，消去算式中的高次幂。
2. 整理代数形式：将实部与虚部分别合并，写成复数的标准代数形式 $z=a+bi$。
3. 计算模长：利用复数模的公式 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 代入求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

根据虚数单位 $i$ 的运算性质可知： $i^2=-1$ $i^3=i^2\times i=-i$

将上述性质代入原式中的复数进行化简： $2+i^2+2i^3=2+(-1)+2(-i)=1-2i$

此时，复数的实部为 $1$，虚部为 $-2$。 根据复数模的计算公式，可得： $|2+i^2+2i^3|=|1-2i|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位 $i$ 的幂次周期性，复数代数形式及其模的定义。
2. 核心方法：化简求模公式法。
3. 避坑指南：

• 虚数基本运算失误：混淆 $i^3$ 与 $i^2$ 的值，导致化简错误。
• 模的计算符号陷阱：公式 $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ 中的虚部为 $b$（是实数），计算时切勿带入 $i$ 算成 $\sqrt{1^2+(-2i{)}^2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第七章《复数》的课后配套基础练习，属于高考文科数学卷的第一题，旨在测试考生的基础运算过关情况。
2. 结论推广：

• 复数在几何上的对应：复数 $z=a+bi$ 与复平面上的点 $(a,b)$ 及以原点为起点的向量 $\mathbf{OZ}$ 一一对应。复数的模 $|z|$ 的几何意义即为该点到原点的距离。
• 共轭复数推广：已知 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$。本题中 $z=1-2i$，其共轭复数为 $\bar{z}=1+2i$，则 $z\cdot \bar{z}=(1-2i)(1+2i)=1^2-(2i{)}^2=1+4=5$，故 $|z|=\sqrt{z\cdot \bar{z}}=\sqrt{5}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2003-辽宁卷-03
• 2012-辽宁理-02
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义