2023-乙卷文-05 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查偶函数的代数判定，以及指数方程与恒等变形。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷文）已知$f(x)=\frac{x{\text{e}}^x}{{\text{e}}^{ax}-1}$是偶函数，则$a=$（    ）

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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根据偶函数的定义运算求解.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为$f\left(x\right)=\frac{x{\text{e}}^x}{{\text{e}}^{ax}-1}$为偶函数，

则$f\left(x\right)-f\left(-x\right)=\frac{x{\text{e}}^x}{{\text{e}}^{ax}-1}-\frac{\left(-x\right){\text{e}}^{-x}}{{\text{e}}^{-ax}-1}=\frac{x\left[{\text{e}}^x-{\text{e}}^{\left(a-1\right)x}\right]}{{\text{e}}^{ax}-1}=0$， 又因为$x$不恒为0，可得${\text{e}}^x-{\text{e}}^{\left(a-1\right)x}=0$，

即${\text{e}}^x={\text{e}}^{\left(a-1\right)x}$，则$x=\left(a-1\right)x$，

即$1=a-1$，解得$a=2$.

故选：D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶函数关系式 $f(-x)=f(x)$ 的代数展开运用、含负指数分式的同底数幂扩分技巧（如 ${\text{e}}^{-ax}\cdot {\text{e}}^{ax}=1$）。
2. 核心方法：定义法恒等变形、特殊值快速筛选法。
3. 避坑指南：

• 分母负指数展开时出现多项式漏乘：在化简 $f(-x)=\frac{-x{\text{e}}^{-x}}{{\text{e}}^{-ax}-1}$ 时，部分考生分母同乘 ${\text{e}}^{ax}$ 时只乘以了第一项，把后项的 $-1$ 漏掉。务必牢记多项式乘法分配律。
• 做选择题采用过重的通分：如果选用 $f(x)-f(-x)=0$ 且采用分子交叉相乘，会在分子部分产生四项由底数 $\text{e}$ 组成的复合高次项，极大放大了草稿纸上的算量。而采用解法一中先将 $f(-x)$ 分子分母同乘 ${\text{e}}^{ax}$ 使得分母“就地同分母化”，是最灵动、最不易出错的推导技巧。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学的第四题，属于典型的函数性质辨析选择题。母题模型来源于人教A版教材《必修第一册》第四章“指数函数”章节中关于“探究超越复合函数的对称性”的课后思维拓展训练。命题意图在于考查考生对基本初等曲线代数变形的熟练度。
2. 结论推广： 在解析函数与初等代数领域中，本题的结构属于一种非常经典的**“正弦型对偶指数构造模型”**。 更一般地，若函数模型写为： $g(x)=\frac{x^k\cdot {\text{e}}^{mx}}{{\text{e}}^{nx}-1}(n\ne 0)$ 通过相同的定义法进行高维外推：

• 当 $k$ 为奇数（如本题 $k=1$）时，若 $g(x)$ 为偶函数，则参数必须严格满足刚性几何比例关系： $n=2m$；
• 当 $k$ 为偶数时，若 $g(x)$ 为奇函数，参数同样严格满足： $n=2m$。

在本题中， $k=1$（奇数），已知 $f(x)$ 为偶函数，指数系数 $m=1$，直接套用推广结论： $a=2m=2\times 1=2$。内化这一高度对称的指数组合模型，不仅能在面对类似的选择题时实现零算量快速求解，更能对后续研究双曲正弦、余弦函数（Hyperbolic Functions）的拓扑对称性提供最底层的直觉支撑。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 2010-山东卷文-05 单-奇函数求值
• 2013-山东卷理-16 填-分段函数