2023-乙卷文-12 单-双曲线中点弦

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及双曲线的中点弦问题。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷文）设 $A,B$ 为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $AB$ 中点的是（　　）

A. $(1,1)$　　　　B. $(-1,2)$　　　　C. $(1,3)$　　　　D. $(-1,-4)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别模型：题目给定双曲线方程，询问某点是否可能为“弦的中点”。这是典型的中点弦问题。

2. 常规路径（点差法 + 判别式）：

   • 利用点差法推导弦的斜率公式 $k\cdot k_{OM}=\frac{b^2}{a^2}$（其中 $M$ 为中点）。

   • 求出直线 $AB$ 的方程。

   • 将直线方程与双曲线方程联立，计算判别式 $\Delta$。

   • 只有当 $\Delta >0$ 时，直线与双曲线才有两个交点，该点才真正是“弦”的中点。

3. 快速路径（位置判定法/二级结论）：

   • 对于标准双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，点 $M(x_0,y_0)$ 能成为中点弦的中点的充要条件是 $M$ 点位于双曲线两支之间的区域（包含原点所在的区域），即满足 $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}<0$。

   • 若点在双曲线“内”（包含焦点的区域）或渐近线上，则不存在被其平分的弦。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：点差法与判别式验证（通法）

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，中点 $M(x_0,y_0)$。

由点差法可知，直线 $AB$ 的斜率 $k$ 满足 $k\cdot \frac{y_0}{x_0}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{9}{1}=9$。

即 $k=\frac{9x_0}{y_0}$。

• 考察 A 选项 $(1,1)$：

  $k=\frac{9\times 1}{1}=9$。直线方程为 $y-1=9(x-1)⟹y=9x-8$。

  联立 $x^2-\frac{(9x-8{)}^2}{9}=1⟹9x^2-(81x^2-144x+64)=9⟹-72x^2+144x-73=0$。

  $\Delta =144^2-4(-72)(-73)=20736-21024<0$。无交点，A 错误。

• 考察 B 选项 $(-1,2)$：

  $k=\frac{9\times (-1)}{2}=-4.5$。直线方程 $y-2=-4.5(x+1)⟹y=-4.5x-2.5$。

  联立化简得 $45x^2+90x+61=0$。

  $\Delta =90^2-4(45)(61)=8100-10980<0$。无交点，B 错误。

• 考察 C 选项 $(1,3)$：

  点 $(1,3)$ 满足 $y=3x$，恰好在双曲线的渐近线 $y=\pm 3x$ 上。

  以渐近线上一点为中点的直线，若存在，其斜率 $k=\frac{9\times 1}{3}=3$，与渐近线斜率相同。

  此时直线平行于渐近线，与双曲线至多一个交点，无法构成弦。C 错误。

• 考察 D 选项 $(-1,-4)$：

  $k=\frac{9\times (-1)}{-4}=\frac{9}{4}$。直线方程 $y+4=\frac{9}{4}(x+1)⟹y=\frac{9}{4}x-\frac{7}{4}$。

  代入双曲线方程：$9x^2-(\frac{9x-7}{4}{)}^2=9⟹144x^2-(81x^2-126x+49)=144$。

  整理得 $63x^2+126x-193=0$。

  $\Delta =126^2-4(63)(-193)>0$。有两个交点，D 正确。

方法二：位置判定法（快速求解技巧）

对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，点 $P(x_0,y_0)$ 为中点弦中点的充要条件是：

$\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}<0$

(即点 $P$ 位于双曲线两条渐近线所夹的、包含虚轴的区域内)。

本题中 $a^2=1,b^2=9$。代入各选项验证 $x_0^2-\frac{y_0^2}{9}$ 的符号：

• A $(1,1)$: $1^2-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}>0$。 (在“双曲线内”，不能做中点)

• B $(-1,2)$: $(-1{)}^2-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}>0$。 (同上)

• C $(1,3)$: $1^2-\frac{9}{9}=0$。 (在渐近线上，不能做中点)

• D $(-1,-4)$: $(-1{)}^2-\frac{16}{9}=1-\frac{16}{9}=-\frac{7}{9}<0$。 (符合条件)

结论：

对应选项 D 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点差法在含中点双线性参量中的代数转换、直线与圆锥曲线判别式对隐性伪根的剔除、包含虚轴的渐近线区域的拓扑几何意义。
2. 核心方法：位置判定二级结论法（极速快速求解）、点差判别式联合校验法（通用大题流）。
3. 避坑指南：

• 只求斜率而不看判别式（最大高频大跌眼镜点）：大量考生在考场上盲目相信点差法。比如把 A 选项 $(1,1)$ 代入公式③，算出斜率 $k=9$。如果不进行 $\Delta$ 检验，就会误以为 A 是对的。务必死记：双曲线中点弦，点差法算出的斜率仅仅是“如果这根弦存在，它的斜率必须是 $k$”；但这根直线往往根本碰不到双曲线！必须通过 $\Delta >0$ 或二级结论保驾护航。
• 分不清椭圆与双曲线的结论差异：对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其曲线具有封闭完备性，只要点落在椭圆内部（$<1$），就无条件存在被其平分的中点弦。但双曲线是开放的、分叉的，必须满足其特征式小于 0 这一特定区域约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学第十一题，是一道具有极高区分度的圆锥曲线中档经典选择题。母题模型根植于人教A版教材《选择性必修第一册》第二章“直线与双曲线的位置关系”课后的探究与思考。命题核心立意极深，表面上考查简单的点差公式套用，实则暗中测试考生对“中点弦存在性充要条件”这一解析几何隐性死穴的理解。
2. 结论推广： 在相关理论框架下，本题的位置判定法可以推广为一个完备的**“圆锥曲线中点弦充要判定幂定理”**： 设圆锥曲线的一般化齐次方程为 $f(x,y)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{\lambda }=1$。

• 当 $\lambda >0$ 时，方程为椭圆。已知点 $M(x_0,y_0)$ 成为中点弦中点的充要条件是 $f(x_0,y_0)-1<0$（即点严格在椭圆内部）；
• 当 $\lambda <0$ 时（令 $\lambda =-b^2$），方程为双曲线。已知点 $M(x_0,y_0)$ 成为中点弦中点的充要条件是： $f(x_0,y_0)=\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}<0$

在几何拓扑上，这个不等式划定了以渐近线为界的常定边界。掌握这一“曲线幂符号判定”模型，在后续面对任何含有未知字母参数、或者需要讨论中点弦轨迹范围的压轴填空选择题时，均可免去全部的消元、通分与联立大数字判别式的过程，直接通过符号域实现简化处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程
• 2013-大纲卷理-21 解-双曲线性质
• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程