2023-乙卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查虚数单位i的幂的周期性，以及复数的除法运算。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷理）设 $z=\frac{2+\text{i}}{1+{\text{i}}^2+{\text{i}}^5}$，则 $\bar{z}=($　　$)$

A. $1-2\text{i}$　　　　B. $1+2\text{i}$　　　　C. $2-\text{i}$　　　　D. $2+\text{i}$

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 简化分母中的虚数单位：

根据虚数单位 $\text{i}$ 的幂次性质：

• ${\text{i}}^2=-1$；

• ${\text{i}}^5={\text{i}}^4\cdot \text{i}=1\cdot \text{i}=\text{i}$．

  将其代入分母：

  $1+{\text{i}}^2+{\text{i}}^5=1-1+\text{i}=\text{i}$

2. 化简复数 $z$：

将简化后的分母代回原式：

$z=\frac{2+\text{i}}{\text{i}}$

利用复数除法（分子分母同时乘以 $-\text{i}$，或直接拆分）：

$z=\frac{2}{\text{i}}+\frac{\text{i}}{\text{i}}=-2\text{i}+1=1-2\text{i}$

3. 求解共轭复数 $\bar{z}$：

已知 $z=1-2\text{i}$，根据共轭复数的定义（实部不变，虚部变为相反数）：

$\bar{z}=1+2\text{i}$

4. 结论：

对应选项 B 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位高次幂的余数归置规律、复数单位倒数性质（$\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$）、共轭算子（横线 $\stackrel{ˉ}{}$）的代数响应。
2. 核心方法：分步代数运算法、特征因式拆分法。
3. 避坑指南：

• 分母计算时漏看抵消项：部分考生做第一步时，没有注意到 $1+{\text{i}}^2=1-1=0$ 恰好抵消，而是盲目采用复杂的全分母共轭相乘，从而成倍放大了草稿纸上的算量。
• 功亏一篑漏看共轭符号（最大翻车点）：由于 B 选项和 A 选项分别对应 $\bar{z}$ 和 $z$。很多考生在高度紧张的考场上，大汗淋漓地算出 $z=1-2\text{i}$ 后，狂喜之下直接忽视了题干顶部的横线，错选 A 项。务必在落笔前复审最终设问。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学的第一题，属于典型的“送分题”。母题模型完全契合人教A版教材《选择性必修第三册》第七章“复数的四则运算”的开篇基础练习。命题立意在于用极其纯粹、无干扰项的代数结构，帮助考生建立开局信心，测试基本的运算精确度。
2. 结论推广： 在复数域的代数运算中，形如本题的分式结构可以推广为一个常数级化简通式模型： 设分式 $z=\frac{A+{\text{i}}^m}{1+{\text{i}}^n+{\text{i}}^{n+3}}(A\in \mathbb{R})$。 根据 $\text{i}$ 的周期性及对偶性，相邻 4 步中相隔 3 步的两项满足 ${\text{i}}^{n+3}={\text{i}}^n\cdot {\text{i}}^3=-{\text{i}}^n$。 由此可得，分母中必有 ${\text{i}}^n+{\text{i}}^{n+3}=0$ 恒成立。 因此该模型的分母直接转化退化为常数 1： $z=A+{\text{i}}^m$ 对其施加共轭算子，可以直接输出通解： $\bar{z}=A-{\text{i}}^m$。内化这一周期性对称消去模型，可以在后续面对任何带有连续或跳跃幂次的复数选择题时，实现瞬间定性快速求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义