2023-乙卷理-06 单-三角函数性质

本题导读

本题考查正弦型函数的单调性，以及正弦型函数的对称轴。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷理）已知函数$f(x)=\sin (\omega x+\phi )$在区间$\left(\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right)$单调递增，直线$x=\frac{\pi }{6}$和$x=\frac{2\pi }{3}$为函数$y=f\left(x\right)$的图像的两条对称轴，则$f\left(-\frac{5\pi }{12}\right)=$（    ）

A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 　　　　B. $-\frac{1}{2}$ 　　　　C. $\frac{1}{2}$ 　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

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根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入$x=-\frac{5\pi }{12}$即可得到答案.

✅【答案】

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$D$

✍【详细解析】

Abstract

因为$f(x)=\sin (\omega x+\phi )$在区间$\left(\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right)$单调递增，

所以$\frac{T}{2}=\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，

且$\omega >0$，则$T=\pi$，$w=\frac{2\pi }{T}=2$，

当$x=\frac{\pi }{6}$时，

$f\left(x\right)$取得最小值，

则$2\cdot \frac{\pi }{6}+\phi =2k\pi -\frac{\pi }{2}$，

$k\in Z$，

则$\phi =2k\pi -\frac{5\pi }{6}$，$k\in Z$，

不妨取$k=0$，则$f\left(x\right)=\sin \left(2x-\frac{5\pi }{6}\right)$，

则$f\left(-\frac{5\pi }{12}\right)=\sin \left(-\frac{5\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，

故选：D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：单调性与对称轴在正弦曲线上关于周期 $T$ 的空间重合映射、极值点相位方程（波峰对应 $2k\pi +\frac{\pi }{2}$，波谷对应 $2k\pi -\frac{\pi }{2}$）的建立、负大角的对偶三角变换。
2. 核心方法：几何波形特征还原法、初相主值代入法。
3. 避坑指南：

• 错把区间长度当成四分之一周期：部分考生一看到“对称轴”，就盲目套用“对称轴到对称中心的距离是 $\frac{T}{4}$”。务必看清，本题中给出的两个端点全部都是对称轴，相邻两条对称轴之间的跨度绝对是半个周期（$\frac{T}{2}$）。
• 初相极值属性判定颠倒（高频翻车点）：在建立初相方程时，若不看“单调递增”这个性质，容易误把 $x=\frac{\pi }{6}$ 当成波峰，列出 $2\cdot \frac{\pi }{6}+\phi =\frac{\pi }{2}$，从而求出错误的初相 $\phi =\frac{\pi }{6}$。牢记：左端点在递增区间上，必然是最小值（波谷），绝对不能当成最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学的第六题，属于三角函数图像性质辨析的中档经典题。母题模型根植于人教A版教材《必修第一册》第五章“函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图像”课后思考与综合练习。命题立意精巧，将单调区间与对称轴这两大性质融合在一个闭合区间内，侧重考查考生“数形结合”的快速反应能力。
2. 结论推广： 在相关理论框架下，本题的图像特征可以总结为一个完备的**“正弦单调波段端点极值守恒定理”**： 设函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )(\omega >0)$。若该函数在闭区间 $[M,N]$ 上严格单调，且区间的两端点 $x=M$ 与 $x=N$ 恒为该函数的两条对称轴。 则该系统的几何参数与边界相位满足以下刚性不变量关系：

• 周期控制：该单调区间长度必为半周期的奇数倍（高考通常考查最紧邻的 1 倍），即 $N-M=\frac{T}{2}⟹\omega =\frac{2\pi }{2(N-M)}=\frac{\pi }{N-M}$；
• 相位控制（若单调递增）：左端点 $M$ 必为波谷，满足 $\omega M+\phi =2k\pi -\frac{\pi }{2}$；右端点 $N$ 必为波峰，满足 $\omega N+\phi =2k\pi +\frac{\pi }{2}$。

直接套用此推广模型，在本题中可直接得出 $\omega =\frac{\pi }{\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{6}}=\frac{\pi }{\frac{\pi }{2}}=2$，并由左端点直接锁定主值相位。内化这一性质连动模型，可以帮助考生在面对任何多参数变动的三角函数压轴选择填空题时，实现快速求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-10 单-函数单调性
• 2008-安徽卷文-17 解-三角化简值域
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值