2023-乙卷理-07 单-排列组合

本题导读

本题考查组合及组合数公式，以及排列及排列数公式。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷理）甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ）

A. 30种　　　　　B. 60种　　　　　C. 120种　　　　　D. 240种

🔍【思路分析】

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相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

首先确定相同得读物，共有$C_6^1$种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，

选出两种进行排列，共有$A_5^2$种，

根据分步乘法公式则共有$C_6^1\cdot A_5^2=120$种，故选：C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分步乘法计数原理中各步骤独立性与全称覆盖的辨析、排列（有序）与组合（无序）在具体分配情境下的概念分离。
2. 核心方法：相同元素优先锁定法、剩余元素差异分配法。
3. 避坑指南：

• 在第二步分派差异项时遗漏了人的顺序（最易错点）：部分考生在第二步时，列式为 ${\text{C}}_5^2$（从 $5$ 种里挑 $2$ 种），算出来是 $10$ 种，最后的总数变成了 $6\times 10=60$ 种，从而误选 B 项。务必注意：甲、乙是两个不同的人，挑选出来的两本书“谁读哪一本”是存在顺序颠倒差异的，必须乘以 ${\text{A}}_2^2$ 或者是直接使用排列数 ${\text{A}}_5^2$。
• 把分步过程误用加法原理：第一步和第二步是连续发生的、缺一不可的步骤（分步），必须使用乘法。只有各个方案能独立完成整个任务（分类）时，才使用加法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学的第七题，属于排列组合大类中经典的元素分配模型。母题模型来源于人教A版教材《选择性必修第三册》第六章“计数原理”章节中关于“排列组合综合应用”的课后经典思考题。命题立意在于通过简洁的文字，测试考生对“同中求异、异中求同”这种高动态平衡组合策略的数理逻辑审视。
2. 结论推广： 在组合数学与概率论中，本题的分配构型可以推广为一个通用的**“双人限额选书交集不变量模型”**： 设一共有 $N$ 种不同的资源，甲、乙两人都需要从中各自独立挑选 $M$ 种 $\left(2⩽M⩽\frac{N}{2}\right)$。若限制两人的选择结果中，恰好有 $k$ 种（$0⩽k⩽M$）是完全相同的。 按照完全相同的分步分离推导法，其全局方案总数满足以下刚性代数通式： $\text{Total}={\text{C}}_N^k\cdot {\text{C}}_{N-k}^{M-k}\cdot {\text{C}}_{N-M}^{M-k}$

本题中，总书数 $N=6$，每人选读数 $M=2$，相同数 $k=1$。直接套用该推广通式快速验证： $\text{Total}={\text{C}}_6^1\cdot {\text{C}}_{6-1}^{2-1}\cdot {\text{C}}_{6-2}^{2-1}={\text{C}}_6^1\cdot {\text{C}}_5^1\cdot {\text{C}}_4^1=6\times 5\times 4=120\text{ 种}$ 内化这一通用的交集分配模型，不仅在面对未来可能出现的“恰有 $2$ 种相同”、“无相同（交集为空）”等变式选择题时能实现零误判快速求解，更为后续深入学习超几何分布（Hypergeometric Distribution）的概率质量函数奠定了最底层的代数认知基础。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理
• 2014-浙江卷理-14 填-组合及组合数公式
• 2014-辽宁卷理-06 单-组合及组合数公式