2014-浙江卷理-14 填-组合及组合数公式

本题导读

本题考查排列组合的实际应用。题目要求将 8 张奖券（3 张有奖，5 张无奖）分配给 4 个人，每人 2 张。核心在于处理“获奖情况”的界定，即关注 3 张有奖奖券的去向，并排除不符合“每人最多 2 张”限制的特殊情况。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有 $\underline{}$ 种（用数字作答）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解“获奖情况”：本题只关心谁获得了一、二、三等奖。5 张无奖券相当于“占位符”，只要确定了有奖券的归属，剩下的无奖券自然分配给余下的位置。
2. 分配限制：每人分配 2 张，这意味着 3 张有奖券不能同时给同一个人。
3. 策略选择：
   • 方法一（排除法）：先将 3 张不同奖项随机分给 4 个人（允许重复），再减去 3 张奖券全部分给同一个人的情况。
   • 方法二（分类讨论）：按获奖人数分类。情况一：两个人获奖（其中一人得两张，一人得一张）；情况二：三个人获奖（每人各得一张）。

✅【答案】

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$60$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：正难则反（排除法）

1. 不考虑限制的分配：将一、二、三等奖这 3 张不同的奖券分给 4 个人。由于奖项不同且人也不同，每张奖券都有 4 种选择，总数为 $4\times 4\times 4=4^3=64$ 种。
2. 剔除违规情况：由于每人只能拿 2 张奖券，所以 3 张奖券全部分给同一个人的情况是不存在的。4 个人中，每个人都有可能发生这种情况，共有 4 种（即全给甲、全给乙、全给丙或全给丁）。
3. 计算结果：$64-4=60$ 种。

方法二：分类讨论（直接法）

1. 情况 1：3 张奖券分给 2 个人
   • 先选出哪两张奖券给同一个人：$C_3^2$ 种方式。
   • 选出哪两个人获奖并分配：从 4 人中选 2 人进行排列（谁拿两张，谁拿一张），有 $A_4^2$ 种。
   • 结果：$C_3^2\times A_4^2=3\times 12=36$ 种。
2. 情况 2：3 张奖券分给 3 个人
   • 相当于从 4 个人中选 3 个人，分别拿走一、二、三等奖。
   • 结果：$A_4^3=4\times 3\times 2=24$ 种。
3. 求和：$36+24=60$ 种。

【答案】 $60$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限制条件的分配问题（排列与组合）

2. 核心方法：正难则反（排除法）或分类讨论获奖人数

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 分步乘法原理、重复排列、插空法与隔板法（处理相同元素分配）。

2. 结论推广: 若有 $n$ 个奖项分给 $m$ 个人，每人限领 $k$ 张，若 $n>k$，则必须排除超额领奖的情况。

3. 方法推广: 对有限制条件的分配问题，按特殊元素或特殊位置分类

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-13 填-组合数公式
• 2015-上海卷文-10 填-组合数
• 2014-大纲卷文-07 单-组合计数