2023-北京卷-07 单-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理，以及边角互化思想。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）在 $△ABC$ 中，$(a+c)(\sin A-\sin C)=b(\sin A-\sin B)$，则 $\angle C=$（　　）

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{6}$

🔍【思路分析】

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分析目标：已知含有边长与正弦值的混合等式，要求解三角形的某个内角大小。

求解步骤：首先利用正弦定理将等式中的所有“角（正弦值）”转化为“边”，进行边角互化；化简后得到关于边长 $a,b,c$ 的二次齐次关系式，再结合余弦定理的推论求出 $\cos C$ 的值，最后根据内角范围反解出 $\angle C$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解析：

已知等式：

$(a+c)(\sin A-\sin C)=b(\sin A-\sin B)$

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$（$R$ 为外接圆半径），可得 $\sin A=\frac{a}{2R}$，$\sin B=\frac{b}{2R}$，$\sin C=\frac{c}{2R}$。

将上述关系代入原等式（等价于直接将正弦值替换为对应的边长），进行“角化边”：

$(a+c)(a-c)=b(a-b)$

展开并化简上述等式：

$a^2-c^2=ab-b^2$

移项，整理出与余弦定理形式相关的结构：

$a^2+b^2-c^2=ab$

由余弦定理推论，求 $\angle C$ 的余弦值：

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

将上一步得到的 $a^2+b^2-c^2=ab$ 代入分子中：

$\cos C=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$

在 $△ABC$ 中，内角 $C$ 的范围是 $0<C<\pi$。

因为 $\cos C=\frac{1}{2}$，所以：

$C=\frac{\pi }{3}$

故选：B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理对几何比例关系的代数转化律、二次多项式向余弦定理的结构化归、三角形内角的单值区间判定。
2. 核心方法：角化边简化法、整体代入约分法。
3. 避坑指南：

• 边角互化方向选错：部分考生在拿到题目后，若盲目选择“边化角”策略（即把 $a,b,c$ 换成正弦值），会导致等式转化为 ${\sin }^{2}A-{\sin }^{2}C=\sin B\sin A-{\sin }^{2}B$，接下来的化简将不得不频繁调用复杂的三角和差化积或二倍角公式，极易在中途运算中卡壳。通常情况下，“角化边”能够使复杂的三角函数问题直接蜕变为初中生熟悉的多项式因式分解，在解题效率上具有显著优势。
• 忽略三角形内角范围限制：在反解角的大小时，务必牢记 $C\in (0,\pi )$ 的刚性红线。如果求出的是 $\cos C=-\frac{1}{2}$，则应根据钝角象限判定得出 $C=\frac{2\pi }{3}$（防止错选为锐角）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考数学中经典的常规中档题。其改编的灵感和母题构型直接来源于教材《解三角形》章节中关于“利用正余弦定理解综合方程”的复习参考题。命题立意在于考查学生对“数形交汇”思想的掌握情况，属于检测通用解题套路（边角统一）的经典范式。
2. 结论推广： 在解三角形的多项式化简中，通过“角化边”常能得到一类通用的二次齐次式：$a^2+b^2-c^2=\lambda ab$。根据余弦定理，此类结构与内角 $C$ 的对应关系可直接外推并固化为二级结论模型： $\cos C=\frac{\lambda ab}{2ab}=\frac{\lambda }{2}$

• 当 $\lambda =1$ 时， $\cos C=\frac{1}{2}⟹C=\frac{\pi }{3}$（即本题模型）；
• 当 $\lambda =-1$ 时， $\cos C=-\frac{1}{2}⟹C=\frac{2\pi }{3}$；
• 当 $\lambda =\sqrt{3}$ 时， $\cos C=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹C=\frac{\pi }{6}$。 记住这个通用的系数对应模型，可以让考生在面对复杂的填空选择题时建立起更快速的心理预期与结果校验能力。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2014-陕西卷文-16 解-解三角形