2014-四川卷理-18 解-利用空间向量证明平行与垂直

本题导读

本题考查立体几何综合知识。首先需要通过侧视图与俯视图还原几何体的形状及尺寸，判定底面与侧面的位置关系。第一问利用垂直关系建立参数方程证明点为中点；第二问通过求解两个平面的法向量，利用夹角公式计算二面角的余弦值。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 三棱锥 $A-BCD$ 及其侧视图、俯视图如图所示.设 $M$，$N$ 分别为线段 $AD$，$AB$ 的中点，$P$ 为线段 $BC$ 上的点，且 $MN\perp NP$.

(1) 证明：$P$ 为线段 $BC$ 的中点；

(2) 求二面角 $A-NP-M$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三视图还原：
   • 俯视图显示 $△BCD$ 为正三角形，边长为 $2$。
   • 侧视图显示三棱锥的高为 $\sqrt{3}$，且顶点 $A$ 在底面的射影 $O$ 落在 $BD$ 的中点上。
   • 推导出 $OB,OA,OC$ 两两互相垂直，可以此建立空间直角坐标系。
2. 第一问：证明中点
   • 设 $\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{BC}$，写出 $M,N,P$ 的坐标。
   • 利用 $MN\perp NP⟹\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{NP}=0$ 建立关于 $\lambda$ 的方程，解出 $\lambda =1/2$ 即可。
3. 第二问：求二面角
   • 确定两个平面：平面 $PMN$（即平面 $A-NP-M$ 的一部分）和平面 $ABC$（或其延伸面）。
   • 分别求出两个平面的法向量 $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$。
   • 利用 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}$ 计算，注意结合图形判定二面角是锐角还是钝角。

✅【答案】

点击查看答案

第 (1) 小题：证明 $P$ 为 $BC$ 的中点；第 (2) 小题：求二面角余弦值；求平面 $PMN$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}$；求平面 $ABC$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立空间直角坐标系

根据侧视图和俯视图可知，$△ABD,△BCD$ 均为边长为 $2$ 的正三角形，顶点 $A$ 在底面内的射影为 $BD$ 的中点 $O$。 以 $O$ 为原点，$OB,OC,OA$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 各点坐标为： $A(0,0,\sqrt{3}),B(1,0,0),C(0,\sqrt{3},0),D(-1,0,0)$。 由中点公式得： $M(-\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}),N(\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2})$。 则 $\overrightarrow{MN}=(1,0,0)$。

第 (1) 小题：证明 $P$ 为 $BC$ 的中点 设 $\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{BC}=\lambda (-1,\sqrt{3},0)=(-\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,0)$。 则 $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BP}=(\frac{1}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2})+(-\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,0)=(\frac{1}{2}-\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,-\frac{\sqrt{3}}{2})$。 因为 $MN\perp NP$，所以 $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{NP}=0$： $1\cdot (\frac{1}{2}-\lambda )+0+0=0⟹\lambda =\frac{1}{2}$ 故 $P$ 为线段 $BC$ 的中点。

第 (2) 小题：求二面角余弦值 由 (1) 知 $P(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$。

1. 求平面 $PMN$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}$： $\overrightarrow{MN}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{MP}=(1,\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$。 设 $\overrightarrow{n_1}=(x,y,z)$，由 $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{MN}=0$ 得 $x=0$。 由 $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{MP}=0$ 得 $0+\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0⟹y=z$。 取 $\overrightarrow{n_1}=(0,1,1)$。
2. 求平面 $ABC$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}$： $\overrightarrow{BA}=(-1,0,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BC}=(-1,\sqrt{3},0)$。 设 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$： $\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{3}z=0\\ -x+\sqrt{3}y=0\end{array}⟹$ 令 $x=\sqrt{3}$，得 $\overrightarrow{n_2}=(\sqrt{3},1,1)$。
3. 计算二面角： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0+1+1|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3+1+1}}=\frac{2}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ 故二面角 $A-NP-M$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原与空间向量证明垂直、求二面角

2. 核心方法：建系后用向量垂直的坐标条件建立方程证明中点

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空间向量坐标法、法向量夹角公式

2. 结论推广: 证明点分线段比例可用向量共线与垂直条件。

3. 方法推广: 空间位置关系的证明优先建系坐标化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-03 单-向量垂直
• 2013-山东卷理-18 解-直线与直线平行
• 2023-新高考II卷-13 填-平面向量