2023-新高考I卷-12 多-立几综合

本题导读

本题考查多面体与旋转体的表面积与体积，以及正方体的外接与内切组合模型。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）

A. 直径为 $0.99\text{m}$ 的球体

B. 所有棱长均为 $1.4\text{m}$ 的正四面体

C. 底面直径为 $0.01\text{m}$，高为 $1.8\text{m}$ 的圆柱体

D. 底面直径为 $1.2\text{m}$，高为 $0.01\text{m}$ 的圆柱体

🔍【思路分析】

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1. 选项 A（球体）：比较球体直径与正方体内切球直径（棱长）。
2. 选项 B（正四面体）：利用正四面体可嵌入正方体（棱为其面对角线）的模型，计算所需最小正方体棱长。
3. 选项 C（细长圆柱）：比较圆柱高与正方体内最大线段长度（体对角线）。
4. 选项 D（扁平圆柱）：考虑将圆柱轴线与正方体体对角线重合（斜放）。计算正方体过中心且垂直于体对角线的正六边形截面的内切圆直径，比较圆柱底面直径是否可以通过。再复核圆柱高度在体对角线上的容纳空间。

✅【答案】

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ABD

✍【详细解析】

Abstract

判断选项 A： 正方体棱长 $L=1\text{m}$，其内切球直径 $d_{\max }=1\text{m}$。 给定球体直径 $d=0.99\text{m}<1\text{m}$，可放入。 故 A 正确。

判断选项 B： 棱长为 $a$ 的正四面体可嵌入棱长为 $L_0$ 的正方体中，其棱为该正方体的面对角线，满足 $a=\sqrt{2}{L}_0$。 已知 $a=1.4\text{m}$，则所需最小正方体棱长： $L_0=\frac{1.4}{\sqrt{2}}\approx \frac{1.4}{1.414}\approx 0.99\text{m}$ 因为 $0.99\text{m}<1\text{m}$，该正四面体可放入。 故 B 正确。

判断选项 C： 正方体内两点间最大距离为体对角线长： $D_{\max }=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\approx 1.732\text{m}$ 圆柱高 $h=1.8\text{m}>1.732\text{m}$，即使直径极小，高度也无法容纳。 故 C 错误。

判断选项 D： 直径 $1.2\text{m}>1\text{m}$，考虑斜放。将圆柱轴线与正方体体对角线重合。 正方体垂直于体对角线且过中心的截面为正六边形。 该正六边形边长为面对角线的一半：$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{m}$。 正六边形内切圆半径为： $r_{\max }=x\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}\text{m}$ 截面容许的最大圆面直径为： $d_{\max }=2r_{\max }=\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1.2247\text{m}$ 已知圆柱底面直径 $d=1.2\text{m}<1.2247\text{m}$，横向截面可容纳。 复核高度：圆柱底面半径 $R=0.6\text{m}$。圆盘侧沿到体对角线的垂直距离为 $0.6\text{m}$，所需体对角线端点预留距离 $\Delta z=R\sqrt{2}=0.6\sqrt{2}\approx 0.8484\text{m}$。 两端共需 $2\Delta z\approx 1.6968\text{m}$。 体对角线剩余可用长度： $D_{\text{剩余}}=\sqrt{3}-1.6968\approx 1.7320-1.6968=0.0352\text{m}$ 已知圆柱高 $h=0.01\text{m}<0.0352\text{m}$，纵向高度可容纳。 故 D 正确。

故选：ABD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多面体及组合体的嵌套、正方体体对角线截面性质。
2. 核心方法：空间图形在极限位置的体现及切面分析。
3. 避坑指南：

• 判定正四面体时，需熟记正四面体棱长与嵌入正方体面对角线重合的模型关系 $a=\sqrt{2}L$。
• 判定扁平圆柱时，不可因直径大于棱长即盲目判定无法放入，须考虑沿体对角线斜放的空间拓展潜力。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查空间几何体模型在极限状态下的位置判定，是立体几何创新压轴题的典型形式。
2. 结论推广：棱长为 $L$ 的正方体，垂直于体对角线的中截面为正六边形，其边长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}L$，内部可容纳的最大内切圆直径为 $\frac{\sqrt{6}}{2}L$。此结论可作为快速判定此类“硬币斜放问题”的工具公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-08 填-圆柱的侧面积
• 2014-新课标II卷文-06 单-三视图圆柱切削
• 2008-上海卷文-16 解-正方体线面角